sábado, setembro 12, 2020

O Vernero que foi - Setembro '09

 A chegada do outono topábame co máster do universo rematado e ben rematado, e coa volta á rutina de estudo e preparación de oposición que deixara aparcada por un ano. Contaba erradamente, como se demostraría uns meses despois, con que o ciclo bienal -tal as cenouras- había traerme en 2010 un segundo intento de acceder ao mandarinato inferior de Xeografía e Historia, e comecei a repasar novamente o temario. On the side, proseguía a miña colaboración co suplemento cultural do ABC galego, que neses días me deparou a agradábel sorpresa dunha entrevista a Salman Rushdie na Fundación Caixa Galicia de Coruña, onda mariña de cristal e metacrilato adentrándose nos cantóns da cidade medieval.

De Rushdie só lera daquela Os Versos Satánicos, cortesía dos fondos sen fondo da facultade de filoloxía; levaba para asinar a recén saída A Encantadora de Florencia (edición en inglés de tapa branda; moi difícil conseguir en pouco tempo unha edición máis permanente), que había ler tempo despois, xunto coa que discutíbelmente é a súa mellor novela, Os Fillos da Medianoite. A seguinte que querería ollar é Shame, mais (volvendo ao rego do fetichismo das edicións) aínda non dei topado unha edición boa que mercar.

A entrevista (breve, e moi mellorábel; seguramente a poidades topar logo dalgunha pescuda virtual) permitiume, porén, estar perto do Grande e parolar un chisco con este xenio de Mumbai, algo que un mitómano coma mín non deixa de agradecer. 


Cando por fín topei tempo para este exemplar, léndoo coetáneamente ao Chámome Vermello de Orhan Pamuk, puiden apreciar a fermosa tracería dos dous e un elo común que aparece prolixamente nos dous volumes: o mundo islámico dos Imperios da Pólvora do século XVI (Otomanos, Safávidas e Mongois da India) e o común tesouro cultural da arte da miniatura persa que tanto se valoraba nestes imperios e tan ben se propagandiza nestas novelas; un arte que dende aquela se tornou nun dos meus numerosos hobby-horses, con varios libros lidos e outros agardando, e coma sempre pasa nestes eidos, abrindo a porta a novos eidos e xoias engastadas na cadea (notoriamente, a poesía persa que as miniaturas decoran, e sinaladamente, as novelas en verso de Nizami Ganjavi).

sábado, setembro 05, 2020

a*0 = 0

Como vos contaba nunha entrada recente, o tema 4 de Lenguaje Matemático ocúpase de estruturas alxebraicas elementais: grupos, aneis e corpos. En todas elas temos a combinación dun conxunto de elementos (que non teñen porqué ser números) e unha ou varias operacións para combinar eses elementos (que non teñen porqué ser operacións coñecidas e familiares como a suma ou a multiplicación, anque os símbolos de ámbalas dúas soen empregarse nestes eidos). Dependendo das 'restriccións' que impoñemos, falamos dunha ou doutra estrutura.

Por exemplo, un grupo é un conxunto (chamémoslle U) cunha soa operación (representada exemplo polo símbolo  + ) e coas seguintes propiedades:

-a operación é interna (o que quere dicir que se compós dous elementos, a e b, do conxunto U mediante a operación do grupo, o resultado tamén é un elemento do conxunto U: a + b = c e  a, b, c ∈ U

-a operación é asociativa, tal que para calesquera elementos a, b e c ∈ U, (a+b) + c = a + (b+c)

-a operación conta cun elemento neutro e, tal que calquera elemento composto con e resulta no mesmo elemento: a + e = e + a = a. Se a operación é a suma, o neutro sería o 0, xa que a + 0 = 0 + a = a

-a operación conta, para cada elemento do grupo, cun inverso, (-a), tal que a + (-a) = e

Os grupos resultan ser moi útiles nas matemáticas tanto teóricas como aplicadas. Pasando á seguinte estrutura (a que estou estudando agora) temos os aneis, que se definen así:

Un anel é un conxunto (chamémoslle U) con dúas operacións internas (por exemplo, + e *) e coas seguintes propiedades:

-baixo unha das operacións (+), o conxunto forma un grupo conmutativo, ou abeliano (isto é un tipo especial de grupo onde para calesquera elementos a e b  ∈ U, a orde en que se compoñen non altera o resultado final: a + b = b + a. Isto pode parecer obvio, pero a maioría dos grupos non o cumpren)

-a segunda operación é asociativa: (a*b) * c = a * (b*c)

-a segunda operación é distributiva con respecto á primeira, é dicir: a*(b+c) = (a*b) + (a*c)

Un xeito de velo é dicir que un anel é un intento parcialmente frustrado (ou parcialmente exitoso; o caso é ver o vaso medio cheo ou medio baleiro) de construír dous grupos a partir dun conxunto e de dúas operacións. Temos un grupo completo cunha das operacións e outro a medias coa outra, con algunhas das características dos grupos, pero non todas. 

Os números que aprendemos na escola permíten que nos topemos algúns exemplos coñecidos destas estruturas. Así, Z+ é un grupo (o dos números enteiros, ... -2, -1, 0, 1, 2 ... baixo a operación suma) e Z un anel (os números enteiros de novo baixo as dúas operacións de suma e multiplicación).

Entre os exemplos de cousas non triviais que hai que demostrar partindo destas definicións é a seguinte, que aparecía no título desta entrada: a*0 = 0, ou algo máis prolixamente: a composición dun elemento calquera dun anel con 0 (lembrade, o elemento neutro do anel baixo a primeira operación, +) mediante a segunda operación (*) é igual a 0. Chámaselle a 0 o absorvente do produto. Unha posíbel demostración sería a seguinte:

1) para comezar, asumimos que o elemento 0, que pertence ao anel ao ser o elemento neutro deste baixo a suma, satisfai a propiedade de ser igual a sí mesmo (como tódolos demais elementos do anel); logo 0 = 0

2) Lembremos que 0 non é un elemento calquera do anel, senón a identidade deste baixo a suma. Iso quería dicir, se lembrades, que 0 sumado a calquera outro elemento danos o mesmo elemento: a + 0 = 0 + a = a. Qué nos sae se decidimos que a sexa = 0? Pois 0 + 0 = 0

3) Dado que o anel ten dúas operacións, podemos aplicarlle a segunda delas cun elemento calquera do anel ás dúas partes desta igualdade: a * (0 + 0) = a*0

4) Dado que a segunda operación é distributiva con respecto á primeira, a expresión anterior podémola transformar en a*0 + a*0 = a*0

5) Coma 0 é a identidade baixo a suma, se lle sumamos 0 á parte dereita da ecuación non se cambia nada (xa que a*0 + 0 = a*0), e podemos reescribila coma a*0 + a*0 = a*0 + 0

6) Non sabemos aínda qué poida ser a*0, pero como ámbolos dous son elementos de U e * é unha operación interna, sabemos que a súa composición ten que ser outro elemento de U. Aquí podemos botar man da chamada propiedade cancelativa, que ven a dicir que se a + b = a + c, logo b = c (podes 'cancelar' os elementos iguais a ámbolos dous lados da igualdade e baixo a mesma operación; algo que practicamos moito na álxebra da educación secundaria, como cando resolves a ecuación 1 + x = 3 restándolle un aos dous lados da ecuación - na práctica, transformaches esta en 1 + x = 1 + 2, e cancelaches os uns). Se na ecuación ca que estamos a traballar, a*0 + a*0 = a*0 + 0, podemos entón 'cancelar' o primeiro sumando de ámbolos dous lados da igualdade, e fica a*0 = 0, que era o que queríamos demostrar.


quinta-feira, setembro 03, 2020

segunda-feira, agosto 31, 2020

Libros do Mes

Poema de Fernán González de John Lihani (ed.)

*Hasta que el álgebra os separe de Javier Fresán

*Lenguaje matemático, conjuntos y números de Miguel Delgado e Mª José Muñoz

*Deep Down Things: The Breathtaking Beauty of Particle Physics de Bruce A. Schumm [E]

*The Princeton Companion to Mathematics de Timothy Gowers (ed.)

domingo, agosto 30, 2020

O Vernero que foi - Agosto '09

No verán do 2009 ficaba aínda moi lonxe este futuro noso de ciencia ficción (inimaxinábel e algo distópico) no que a epidemias se refire. Os movementos non se vían coutados, e da man e salvaxe compaña de Ramón Blanco e Manuel López, varias eran as visitas que facíamos: á Pedra da Serpe, en Corme, a Lugo ou ao salón do cómic en Coruña. Éste último era un ritual de agosto que xa leva uns cantos aniños en stand-by, dado o desinterese parcial de ámbolos dous amigos meus na novena arte e a aparición de responsabilidades familiares das que antes carecíamos; agardo que retomemos este ciclo no futuro, xa que serve de excusa para botarmos uns días xuntos de paseo e conversa.

Aproveitaba eses días de canícula, logo de rematar o máster do universo e o congreso de Urbes Europaeae, para ir pulindo o texto da miña ponencia e completalo coas lecturas pertinentes arredor das cidades posmodernas como maquinarias de simulación e falsidade e do seu reflexo en textos académicos e literarios. Entre as referencias que vexo aos libros de agosto aparecen estes tres: War in the Age of Intelligent Machines de Manuel de Landa, El cibermundo, la política de lo peor de Paul Virilio e Technopoly de Neil Postman. Do mesmo xeito que algúns volumes soen deixar certa pegada nas mentes, non é o caso destes tres, dos que só lembro que en común constituían un anti-ditirambo ás utopías tecnolóxicas do noso presente. Máis forte é a lembranza do libriño de haikus de Masaoka Shiki que cito (penso que un azul, de Hiperión, emprestado por Ramón), anque tamén sería incapaz de concretizar haikus e imaxes, agás quizaves a da beleza das peonias contrastando co aguniar tísico do poeta que describía nas súas derradeiras horas e versos neste mundo, levado non pola nosa recente praga do século XXI, senón pola do XIX, o que me fai pensar no sorprendente (e deprimente) da vixencia actual da Tuberculose nos países do terceiro mundo, cando se trata dunha enfermidade que poderíamos tratar e (quizaves) erradicar.

sexta-feira, agosto 21, 2020

Making progress - unit 3

Cando por diferentes motivos, alá por decembro do ano pasado, aparquei o traballo no volume de Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números, conseguira chegar, sen rematalo, ao tema 3, o segundo dos adicados a Teoría de Conxuntos, e que agora sí puiden rematar, xunto cos exercicios de final de unidade. O material básicamente divídise en dous apartados, que explican relacións entre conxuntos e aplicacións entre conxuntos.

Unha relación ven a ser unha conexión dos elementos dun conxunto A cos dun conxunto B (onde este conxunto B pode ser o A do que se partía), que se pode visualizar ben coma pares (x,y) -onde x pertence a A e y a B)- ou como 'flechas' (o elemento x 'lévanos' ou 'transfórmase' no elemento y). Explícanse varias propiedades que poden ter as relacións (reflexiva, simétrica, antisométrica, transitiva), e defínense relacións 'especiais' que teñen varias destas propiedades, a saber:

-Relacións de equivalencia (as que son reflexivas, simétricas e transitivas)
-Relacións de orde (as que son reflexivas, antisimétricas e transitivas)

Logo explícanse características de cada un destes tipos de relacións, e de conxuntos que as teñen.

A segunda parte (que é a que lera por enriba e non entendera ben a primeira volta) está adicada ás aplicacións, que son un tipo de relacións, anque engadindo unha restricción: para que unha relación sexa unha aplicación, os elementos x do conxunto A teñen que emparellarse cun (e con só un) elemento do conxunto B. Trasladándoo a unha imaxe visual doada de entender, de cada elemento de A ten que saír unha (e só unha) flecha. Non poden quedar elementos sen flecha, nen elementos que 'disparen' máis dunha flecha:


Do mesmo xeito que coas relacións, as aplicacións tamén entran dentro de varias clases: poden ser inxectivas (cada elemento x de A ten que mapear a un elemento distinto de B), sobrexectivas (tódolos elementos de B teñen que ser mapeados por algún(s) elemento(s) de A) e bixectivas (son as dúas cousas á vez).

No que atinxe aos exercicios, foron dunha dificultade variábel, anque relativamente alta. Quitando despistes propios e problemas de interpretación, os únicos que me deron problemas foron o 11 e o 20. No 11, dadas unhas relacións alxebraicas, había que determinan qué propiedades tiñan e se, xa que logo, eran de orde ou de equivalencia. As primeiras sobretodo requerían ter moito tento e pensar moi profundamente. No 20 traballábanse con composicións de aplicacións, onde fas unha aplicación e logo outra - por exemplo, (g ∘ f ), onde primeiro fas f, levando elementos do conxunto A ao conxunto B, e logo fas g, levando elementos do conxunto B ao conxunto C), e tiñas que demostrar que, partindo, por exemplo, de que (g ∘ f ) era inxectiva (ou sobrexectiva), qué se podía saber de f e/ou de g.

No seguinte capítulo deixamos por fín atrás os conxuntos e pasamos aos rudimentos da álxebra como se entende a nivel universitario (xa non como resolución de ecuacións e despexe de incógnitas, senón como propiedades abstractas de obxectos alxebraicos coma grupos, aneis e corpos), anque non saímos de todo dos conxuntos, xa que estas estruturas son básicamente conxuntos cunha serie de 'restriccións' baseadas precisamente nesas aplicacións e relacións que estivemos a ver na presente entrada.

domingo, agosto 09, 2020

Rompe!

Mañá estaremos na presentación dun gran libro de Manuel López Rodríguez en Compostela. Se queredes saber o que é bo, non deixedes de asistir!