sexta-feira, dezembro 08, 2017

Pascal e a divisibilidade

No eido da aritmética, unha das súas dificultades é o de determinar de xeito sinxelo se un número é exactamente divisíbel por outro; se se trata de números pequenos, podemos simplemente facer a división e ver se da un resultado exacto (=sen resto), pero se un ou dous números participantes (dividendo, divisor) son moi grandes, a división pódenos levar moito tempo.

É por iso que dende tempos inmemoriais os calculistas buscaron 'trucos rápidos' que lles axudasen nesta tarefa. Así tódolos números pares (rematados en 0, 2, 4, 6 ou 8) son divisíbeis por 2; tódolos números cuxas cifras sumadas dan 3 ou mútiplos de 3 son divisíbeis por 3; tódolos números cuxo último par de dixitos é divisíbel por 4 son divisíbeis por 4; tódolos números que rematan en 0 ou 5 son divisíbeis por 5; tódolos números divisíbeis por 2 e por 3 son divisíbeis por 6, etc...

No século XVII, Blaise Pascal, fedellando nestes terreos, descubriu un método (pedantemente, un algoritmo) de computar divisibilidades a partir dos díxitos dun número. O seu punto de partida é o seguinte:

1) Collamos un número calquera, q, do que desexamos saber se divide exactamente un número p.

2) comprobemos cal é a expansión decimal de q: querse dicir, dividamos 1/q e vexamos qué nos sae no cociente e nos restos.

3) Os restos son os que nos interesan, xa que teñen certas propiedades (na maioría dos casos, con carácter cíclico; limitación a un ciclo non maior que q-1) que nos permiten elaborar unha ecuación coa que podemos comprobar se p é divisíbel por q de xeito máis doado que facendo a división. 

Para visualizalo, collamos un par de números concretos, por exemplo q=11 e p=3409.

O primeiro paso consiste na comprobación da expansión decimal de 1/11. Vexamos:

1/11 = 0, resto = 1; 10/11 = 0, resto 10; 100/11 = 9, resto 1; 10/11 = 0, resto 10, e así, sucesivamente e ata o infinito.

Vemos que a expresión decimal de 1/11, a partir dos cocientes vai ser 0.09090909090..., onde os dous díxitos 09 repítense indefinidamente, constituíndo o periodo (cun tamaño de 2 díxitos). 

Dicíamos que a Pascal non lle interesan a expansión decimal nin os cocientes, senón os restos, que tamén se repiten, oscilando entre 1 e 10. O ciclo de 11, xa que logo, é de 2 membros (o ciclo podería ser de ata 11-1 = 10 membros -non é o caso- ou de calquera dos divisores de 10 -neste caso, 2, que é, en efecto, divisor de 10).

Se nos fixamos na expansión decimal de 1/11, percibimos que nos permite representar calquera potencia de 10 coma o resultado da ecuación 11X+R (onde X é calquer número e R o resto); así, 1 (10^0) é 11 por 0 mais 1; 10 (10^1) é 11 por 0 mais 10; 100 (10^2) é 11 por 9 mais 1; 1000 (10^3) é 11 por 90 mais 10, e así, sucesivamente.

Porqué nos interesan as potencias de 10? Pois porque os números que empregamos habitualmente teñen esa base, e poden representarse sinxelamente coma sumas de potencias de 10; por exemplo, o número p, do que queremos comprobar a súa divisibilidade,  no noso caso concreto era 3409. O que ás veces esquecemos (dado o interiorizado que o temos) é que o conxunto de díxitos 3409 'significa' que temos que facer a seguinte operación para chegar a el:

3 x 1000 + 4 x 100 + 0 x 10 + 9 x 1

Ou o que é o mesmo, poñendo a 10 e os seus mútiplos como potencias:

3 x 10^3 + 4 x 10^2 + 0 x 10^1 + 9 x 10^0

Xeralizando, podemos dicir que a ecuación que nos da un número en base decimal calquera N sería N=Ax10^α + Bx10^α-1 ... Zx10^0. No caso que nos ocupa, como p ten 4 díxitos, a súa ecuación abstracta sería p = Ax10^3 + Bx10^2 + Cx10^1 + Dx10^0, válida para calquer número de 4 cifras, neste caso, e onde A, B, C... son os coeficientes (o número que multiplica á correspondente potencia de 10).

Se collemos, xa que logo, esta última ecuación e substituímos nela as potencias de 10 polos equivalentes na forma 11X+R que vimos antes, podemos facer as seguintes manipulacións alxebraicas:

Ax10^3 + Bx10^2 + Cx10^1 + Dx10^0 = Ax(11x90+10) + Bx(11x9+1) + Cx(11x0+10)+Dx(11x0+1) 

= 10A + 11x90A + B + 11x9B + 10C +  11x0C + D + 11x0D

Agrupamos os números, poñendo nun lado todos os que teñen a 11 como multiplicador, e temos

=10A + B + 10C +D + 11x( 90A+9B+0C+0D)

Ímoslle chamar ao resultado de dentro do paréntese "H". Para o que nos ocupa, é igual a cantidade da que se trate. O importante é que a ecuación para calquera número p de 4 cifras fica en

p  = 10A + B  + 10C + D + 11H

Este ecuación proporciónanos a chave para saber se p (que, insistimos, pode ser calquera número de 4 cifras; logo comprobarémolo para o noso p particular, cuxo valor puxéramos en 3409) é divisíbel por 11. Para que o sexa, está claro que os seus constituíntes teñen que ser divisíbeis por 11. É evidente que 11H é divisíbel por 11, pero qué pasa co resto dos sumandos (10A+B+10C+D)? Pois que para que p sexa divisíbel por 11, esa suma ten que selo tamén.

Con isto chegamos ao paso final. Podemos substituír  p por 3409 e A, B, C e D polos seus coeficientes (A=3; B=4; C=0; D=9); podemos ignorar a suma de H e deixala coa letra.

3409 = 10x3 + 4 + 0x10 + 9 + 11H
3409 = 43 + 11H

3409 será divisíbel por 11 se 43 tamén o é. Como non é o caso, podemos afirmar que 3409 NON é exactamente divisíbel por 11.

Todo este proceso pode parecer máis tedioso que simplemente proceder a facer a división, pero o caso é que se tedes a 'fórmula' do divisor (á que se chega, como vimos para q = 11, logo de analizar a expansión decimal de 1/q e os seus restos), e se o dividendo, no canto de ser un número relativamente pequeno e de 4 cifras ten moitas máis (100 por exemplo), resulta moitísimo máis rápido e sinxelo aplicar o algoritmo aquí descrito que facer a división longa. Por suposto, no caso dun número de 100 díxitos, teríamos tamén que traballar con 100 coeficientes, pero a fórmula en sí non se complicaría demasiado polo carácter periódico dos restos: sería da forma 10A+B+10C+D+10E+F+10G+H... e así sucesivamente.

quarta-feira, dezembro 06, 2017

O Vernero que foi: Decembro '06

Entre o 4 e o 14 de Decembro do 2006, o Mantedor tivo a oportunidade de participar, grazas á bonhomía do profesor e amigo Anxo Abuín, no proxecto europeo Urbes Europaeae, asistindo ao seminario e conferencias que tiveron lugar neses días en Kiel. Algo vos falaba xa nas entradas daquel fín de ano da miña estadía, unha experiencia moi positiva que me abriu moitos horizontes e rematou por levarme intelectualmente aos eidos da miña futura tese doutoral. Pero máis diso máis adiante...

Logo deste había de participar, nos seguintes dous anos, noutros dous seminarios do proxecto con algo máis de aproveitamento académico, xa que no segundo e no terceiro levaba ponencias preparadas (no primeiro limitábame a ir de ouvinte, coa breve e non particularmente gloriosa excepción, antes de proxectarse, dunha presentación da película Matrix). Porén, e alén de pasalo moi ben, tiven a oportunidade de intimar cunha comunidade cosmopolita de estudantes, moitos deles aloxados na mesma residencia: alemáns sobretodo, mais tamén vascos, estonios... e galegos!

Un dos vencellos que naceu no congreso foi co grupiño dos estonios e a súa cultura; ás simpatías naturais que podería sentir un nacionalista galego por unha pequena nación independente e a súa cultura hai que sumarlle a amabilidade  de Jüri Talvet, o líder do grupo (e experto en cultura e língua española -  na época soviética pasou unha tempada en Cuba), que me agasallou con textos e atencións variadas. Os estudantes do báltico tamén eran un grupo de xente moi interesante: Katrin e Katre, Ruth Sepp, que falaba un perfecto castelán e á que vería tempo despois en Tallinn, e Jaak Tomberg, o xigantón co que compartía aficións polo marxismo, a teoría crítica, William Gibson e o cyberpunk. Todos fomos retratados en amábel conversa polo Jüri.


O anterior foi o comezo dun fermoso romance estófilo pola miña parte, do que fican testemuñas nos anaqueis da miña biblioteca e nas entradas desta bitácora. Outra consecuencia, meses despois, sería unha estadía de verán para pelexar coa língua do país...

Máis alá da xente, dos parladoiros (algúnhas moi interesantes: o de Jüri encol do Don Juan, o de Suso de Toro sobre Trece Badaladas, o de Encarnación Sánchez sobre Nápoles e Constantinopla, o de Loli Vilavedra sobre Rivas, o de María Sández sobre literatura urbá galega ou o de Anxo Abuín sobre cine e cidade) e dos petiscos variados e pastel de Dresden que nos servían (os alemáns sempre tiveron moito tino para a larpeirada), foi de marabilloso visitar Alemaña en inverno, disfrutar dos tenderetes de nadal, do glühwein, e das excursións que fixemos a Berlín e a a Lübeck, a capital da Hansa coroada de monumentos medievais (igrexas e casas en tixolo e estilo gótico), doces de mazapán e o domicilio de Thomas Mann. Todo un feixe de experiencias para atesourar no álbum da memoria, e para sacarlle o brillo e a nostalxia once anos despois.

O programa e algunhas fotos, na páxina web do proxecto, que segue a navegar as ondas virtuais...

domingo, dezembro 03, 2017

O Vernero que foi: Novembro '06

O carreiro de follas secas adiantábame no undécimo mes camiño da facultade de Filoloxía. O percorrido rubía pola rúa de Vista Alegre arriba, unha rúa única e peculiar dentro da cidade Compostelá, e cuxo devir espacial é xa para sempre parte da miña íntima psicoxeografía particular e intransferíbel.

Situada nas marxes, Vista Alegre defínese visualmente polo seu estatuto liminal: non é parte do casco vello, mais aínda conserva entre as feas e utilitarias moles da posmodernidade os edificios baixos con marcos de pedra en portas e xanelas, as tabernas populares dun arrabaldo e as cruces de pedra da Galiza xunto co esperpento semi-baleiro de granito do edificio da SGAE, afeando o que por outra banda é un espléndido parque e paseo público, a anterga Finca Simeón, coa súa casona de estilo colonial incluída. E un pouco por detrás da tramoia urbá, non a area de praia, senón os eidos: a masa agraria co seu exército de verzas erguidas que parecen avanzar decididas cara as xanelas dos pisos.

O final do breve percorrido que me levaba ás aulas incluía a man esquerda un ciberlocutorio no que debullaba as horas e a man dereita unha cristalería, xogo de espellos e pantallas a reflectirse, improvisados propíleos para a entrada cara o espazo que daba ao edificio universitario; entrada que tomaba a forma dunha rampa de cemento entre árbores e verde que desentoaban non pouco cos seus arredores inmediatos: o acceso á facultade era un oase de verdor e recollemento no seo do tecido urbano, e xeraba no camiñar  esa paz transmundana e reflexiva tan característica das torres de marfín e dos campus universitarios ben coidados.

quinta-feira, novembro 30, 2017

Libros do Mes

Nanomundo de Pedro Gómez Romero

Pitágoras de Marcos Jaén Sánchez

*Number: The Language of Science de Tobias Dantzig

*Common European Framework of reference for languages  de VVAA [E]

*The Physics Book de Clifford A. Pickover [E]

*Men of Mathematics de E.T. Bell [E] [R]

domingo, novembro 26, 2017

Nuccio Ordine - A docencia

"A tarefa principal do profesor debera ser estudar e ensinar. Pero hoxe adícanse a participar en reunións, encher formularios e pasar a xornada discutindo cousas estúpidas, carecen de tempo para estudar e ensinar. Se os profesores non ensinan con paixón e tornan en burócratas, estamos a destruir o futuro da humanidade. Os mozos teñen unha pequena chama no corazón, e se non a alimentamos mediante a cultura, inflamarase por cousas negativas coma o racismo e o antisemitismo, que van en aumento. Un profesor que non prepara as súas clases comete un crime, mata esa pequena chama que está no corazón de cada mozo. Coma di George Steiner, unha ensinanza de mala calidade é, case literalmente, un asasinato. Ao contrario do que se pensa hoxe, a boa escola non a fan os computadores, as tabletas ou as pizarras dixitais, senón exclusivamente os bos profesores. Cando Camus gañou o Nóbel pensou en dúas persoas, a súa nai e o seu profesor, porque éste cambioulle a vida. Se a escola non muda a vida dos seus estudantes, fracasa na súa misión. Cambiar a vida significa que se convirtan en cidadáns que razoan de forma autónoma, capaces de diciren non, herexes no senso etimolóxico, alguén que non acepta o dogma e o pensamento único. Agora os dogmas son o consumismo, o conformismo e o utilitarismo".


Sacado dunha recente entrevista a Nuccio Ordine, autor de 'A utilidade do inútil' e 'Unha pequena biblioteca ideal'

quinta-feira, novembro 23, 2017

The Art of Becoming

Entre as densas pero instructivas lecturas coas que estou a disfrutar estes días ocupa un posto de honor Number, The Language of Science, de Tobías Dantzig; a edición é manifestamente mellorábel (malia levar o carimbo de 'The Masterpiece Science Edition"), mais o contido, non (anque postos a poñer pexas, ás veces o desenrolo gañaría cunha maior claridade e exposición dos conceptos básicos).

É unha lectura que obriga a volver atrás, a repasar, a explicarse o que se leu a un mesmo en voz alta (unhs hábitos que teño de tempo atrás e que levaron a miña dona a pensar unha vez que tiña un amigo imaxinario...). O último capítulo que lín, The Art of Becoming, explica a maneira que toparon os matemáticos do século XIX de 'domear' e incorporar de xeito riguroso os números irracionais ao eido da artimética, grazas sobretodo ás 'series infinitas' de números que converxen, na súa suma, cara un número. Ao longo da lectura fun facendo unhas notas-resumo que adxunto eiquí por se a algún lle pica o vezo por lelas, ou máis ben para poder repasalas eu nun futuro distante cando volte a ollada ao que lía nos comezos do outono (climática, que non estacionalmente) do 17...


quarta-feira, novembro 15, 2017

The Fall -Three versions

Lendo estes días sobre a seita pitagórica, non deixa de chamarme poderosamente a atención un feito que xa sabía, mais que a veces non interiorizamos, a saber, o grado de sincretismo entre o cristianismo primitivo e a cultura greco-latina. Se ben é certo que ésta era (pace Gibbon) unha civilización social e urbá, volcada na polis, xa no seu xérmolo presentaba o modelo do monacato e da 'retirada do mundo' medievais nas prácticas dos seguidores de Pitágoras e doutros filósofos helenistas. E non só na praxe (ascetismo, comunidade de bens, regra), senón tamén na teoría: o elo que vai do pensador de Samos a Platón e as escolas epicúreas, estoicas e neoplatónicas comparte en xeral a crenza na trascendencia, na inmortalidade da alma e nun mundo supraterreal e perfeito ao que retornar, logo dunha misteriosa caída, mediante esforzo físico e intelectual (entre os textos conservados, é Platón o que mellor mitoloxiza este devir negativo da alma, presa no corpo).

Saulo de Tarso soe citarse coma a figura fundamental que dado o seu carácter amfíbio (xudeu e estudante rabínico de Gamaliel, ao tempo que cidadán romano fluído en grego) posibilitou o salto -iso sí, dentro dun contexto receptivo - dunha seita mesiánica xudea á relixión universal do mundo helenístico, mais a sincretización procedeu despois a bo ritmo; pensaba tamén esta mañá nas diferenzas entre a menor helenización do xudaísmo nun terreo coma o do mito da caída; os cristiáns, da man de Agostiño de Hipona e da tradición denantes mencionada, converten a narración bíblica do Edén nun feito trascendental, o 'pecado orixinal' e a caída do estado de gracia que só se redime, en primeiro lugar, co sacrificio de Cristo, e logo coa nosa praxe (esforzo físico e intelectual, anque guiado pola Gracia). Pola contra, dentro do Xudaísmo, o episodio de Adán e Eva, e á marxe de funcións mitoloxizantes básicas (mito das orixes, explicación da morte e da dualidade sexual da especie) leuse de xeito menos traumático coma un primeiro exemplo dunha pauta recorrente: a do pauto entre Deus e os homes (sinaladamente, o Pobo Elixido), pauto que a nosa parte contratante acaba rachando e sendo castigada por iso, e seguindo cunha reedición do contrato (Abrahám, Isaac, Xacobe, Moisés, David...).

segunda-feira, outubro 30, 2017

Libros do Mes

Mathematics and the Search for Knowledge de Morris Kline [E]

La secta de los números de Claudi Alsina

The Constants of Nature de John Barrow

I am Malala de Malala Yousafzai [E]

Ciencia y creencias de Marco Ciardi

*Nanomundo de Pedro Gómez Romero

*Common European Framework of reference for languages  de VVAA [E]

*The Physics Book de Clifford A. Pickover [E]

sexta-feira, outubro 20, 2017

#$@&%*!

O Mantedor foi sempre moi crítico coa globalización (anque quizaves a día de hoxe por razóns diferentes ás de vinte anos atrás). Porén, sería inxusto non recoñecer algún dos seus beneficios; notoriamente, no meu caso, a posibilidade de mercar libros no estranxeiro, unha práctica que comecei alá polo 2005. Podo lembrar con claridade o difícil que era denantes conseguir libros en inglés nas librarías locais, sempre carísimos e en pésimas edicións; certos volumes eran sinxelamente inconseguíbeis. Por fortuna, iso mudou, e a día de hoxe, a maioría dos exemplares da miña biblioteca fixeron percorridos para chegar a mín que suman moi numerosas voltas arredor do planeta. 

But nothing good is meant to last. Na última década, como xa me teño laiado dende esta bitácora, os prezos dos gastos de envío dende os EEUU multiplicáronse vertixinosamente; por se iso non fora malo dabondo, unha suma de varios factores (avaricia recaudatoria, recurte de persoal e servizos de alfándega, incompetencia e amiguismo) levou a que a día de hoxe, por primeira vez, teña 4 envíos desaparecidos de entre 1 a 3 meses, seguramente durmindo o soño dos xustos nos almacéns de ADT Postales (herdeiros infames dos aínda máis infames Speedtrans), en Baraxas. Anque os vendedores, que non teñen a culpa, reembolsáronme os gastos, fícame claro que xa non é posíbel facer as Américas coa letra impresa, e imaxino que dentro de pouco, co Brexit que nos ven enriba, tampouco será posíbel a compra cómoda, barata e en tempo coas Illas Británicas.

Para os morbosos interesados en cales foron os exemplares perdidos, aquí vos van (en orde decrecente de espera):

Euler’s Gem de David S. Richeson
A First Course in Mathematical Logic and Set Theory de Michael L. O'Leary
The Shape of Inner Space de Shing-Tung Yau
Max Plank: The Dilemmas of an Upright Man de J.L.Heilbron 

[PS: hoxe finalmente, logo de mes e pico, chegou o máis recentemente pedido dos volumes, a biografía de Plank. o que reabre unha pequena rendixa ao optimismo no que toca á chegada dos restantes libros].