Making progress - Unit 4

Anque xa rematei (e aprobei!) a materia de Lenguaje Matemático, non tiven tempo durante o curso de cumprir un dos meus obxectivos, que era o de facer tódolos exercicios do libro de texto. Deste tema só chegara, penso, ata o 6d, onde ficara algo atascado. Agora por fín topei o tempo de facer os 20 exercicios, anque en máis dun tiven que botar a ollada atrás ás solucións, porque estaba atascado. 

Xa falei en entradas anteriores desta unidade, na que se fai unha presentación básica da álxebra universitaria, moi diferente da das ensinanzas medias, e dalgunhas estruturas e relacións básicas: grupos e aneis, corpos, orde e operacións e homomorfismos. 

No que atinxe aos exercicios, foron bastante difíciles de media (tivemos sorte que nos exames e nas probas titoriais caeron os do espectro baixo da táboa: comprobar se dado un conxunto cunhas operacións, estabámos diante dun grupo, dun anel, con divisores de cero ou non, unitario, etc...). O 6d, como vos comentaba, resultoume moi difícil ao comezo, porque non daba visualizado nen sequera o que o enunciado describía, anque na segunda volta resultoume bastante doado. O 14, sobre Ideais, penso que o teño mal e que teño que lerme ben a solución para entendelo. Moitos (coma o 18, o 19 ou o 20) requiren dunha certa 'pillería' matemática (o que se soe chamar 'idea feliz') da que aínda carezo para coller a idea principal que che leva a resolvelos satisfactoriamente.

Non me viría mal repasar o tema cando poida. En todo caso, toca agora volver a ler o capítulo 5, sobre números naturais e enteiros, e pelexar logo cos seus 24 exercicios, dos que non fixera ningún...

Different Morphisms

Mes moi ocupado o que vai en curso; pouco tempo tiven para ler, e menos aínda para a bitácora... Agardemos que as cousas mellores en decembro.

Entre as cousas que me ocupan están os estudos de matemáticas, que van moito máis lento do que desexaría. Acabo de rematar a lectura to tema 4, que é unha introdución á álxebra abstracta; a metade do tema explica as estructuras básicas: grupos, aneis e corpos, definidas coma conxuntos cunha ou máis operacións e cunha serie de propiedades anexas (asociatividade, conmutatividade, presenza de elemento neutro e de simétricos) que satisfán en diferentes grados.

A segunda parte ocúpase dalgo aínda máis abstracto, a saber, os homomorfismos, que serían un xeito de comparar estruturas alxebraicas (principalmente, grupos) os uns cos outros. Un homomorfismo de grupo é unha aplicación f que mapea os elementos dun grupo G con operación interna ⊕ aos elementos doutro grupo, chamémoslle H, con operación interna ⊗. Emprego estes símbolos adrede para evitar os convencionais da suma e multiplicación, xa que as operacións internas que poden ter os grupos son do máis variadas.

A lei principal dun homomorfismo é que f é unha aplicación homomórfica cando se cumpre que f(a ⊕ b) = f(a) ⊗ f(b). Isto quere dicir que se collemos un par de elementos calquera do primeiro grupo, chamémoslles a e b, os combinamos coa operación ⊕, xerando un terceiro elemento do grupo, chamémoslle c, e logo aplicamos f(c), o resultado que obtemos, chamémoslle c', e pertencente ao segundo grupo, é o mesmo ca se primeiro aplicásemos f(a) -obtendo un elemento a' no segundo conxunto- e f(b) -obtendo un elemento b' no segundo conxunto- e logo combinásemos os dous coa operación do segundo conxunto: a' ⊗ b' = c'.

Hai varios tipos de homomorfismos dependendo das propiedades da aplicación e das operacións; así, por exemplo, temos endomorfismos (cando a operación é a mesma nun grupo e no outro), isomorfismos (cando a aplicación é bixectiva) e automorfismos (cando se dan as 2 condicións anteriores).

Tamén importantes (anque aínda non me ficou de todo claro porqué; teño que repasalo) son a Imaxe de f, f(G) e o que en español se chama o 'núcleo' (in inglés, kernel), Ke(f), que ven a medir o grado en que a aplicación f non é bixectiva (con varios elementos do grupo inicial mapeando ao elemento neutro do segundo grupo).

Todo como vedes moi abstracto e bastante denso. Mañá teño a proba do tema; xa vos direi como foi... 

a*0 = 0

Como vos contaba nunha entrada recente, o tema 4 de Lenguaje Matemático ocúpase de estruturas alxebraicas elementais: grupos, aneis e corpos. En todas elas temos a combinación dun conxunto de elementos (que non teñen porqué ser números) e unha ou varias operacións para combinar eses elementos (que non teñen porqué ser operacións coñecidas e familiares como a suma ou a multiplicación, anque os símbolos de ámbalas dúas soen empregarse nestes eidos). Dependendo das 'restriccións' que impoñemos, falamos dunha ou doutra estrutura.

Por exemplo, un grupo é un conxunto (chamémoslle U) cunha soa operación (representada exemplo polo símbolo  + ) e coas seguintes propiedades:

-a operación é interna (o que quere dicir que se compós dous elementos, a e b, do conxunto U mediante a operación do grupo, o resultado tamén é un elemento do conxunto U: a + b = c e  a, b, c ∈ U

-a operación é asociativa, tal que para calesquera elementos a, b e c ∈ U, (a+b) + c = a + (b+c)

-a operación conta cun elemento neutro e, tal que calquera elemento composto con e resulta no mesmo elemento: a + e = e + a = a. Se a operación é a suma, o neutro sería o 0, xa que a + 0 = 0 + a = a

-a operación conta, para cada elemento do grupo, cun inverso, (-a), tal que a + (-a) = e

Os grupos resultan ser moi útiles nas matemáticas tanto teóricas como aplicadas. Pasando á seguinte estrutura (a que estou estudando agora) temos os aneis, que se definen así:

Un anel é un conxunto (chamémoslle U) con dúas operacións internas (por exemplo, + e *) e coas seguintes propiedades:

-baixo unha das operacións (+), o conxunto forma un grupo conmutativo, ou abeliano (isto é un tipo especial de grupo onde para calesquera elementos a e b  ∈ U, a orde en que se compoñen non altera o resultado final: a + b = b + a. Isto pode parecer obvio, pero a maioría dos grupos non o cumpren)

-a segunda operación é asociativa: (a*b) * c = a * (b*c)

-a segunda operación é distributiva con respecto á primeira, é dicir: a*(b+c) = (a*b) + (a*c)

Un xeito de velo é dicir que un anel é un intento parcialmente frustrado (ou parcialmente exitoso; o caso é ver o vaso medio cheo ou medio baleiro) de construír dous grupos a partir dun conxunto e de dúas operacións. Temos un grupo completo cunha das operacións e outro a medias coa outra, con algunhas das características dos grupos, pero non todas. 

Os números que aprendemos na escola permíten que nos topemos algúns exemplos coñecidos destas estruturas. Así, Z+ é un grupo (o dos números enteiros, ... -2, -1, 0, 1, 2 ... baixo a operación suma) e Z un anel (os números enteiros de novo baixo as dúas operacións de suma e multiplicación).

Entre os exemplos de cousas non triviais que hai que demostrar partindo destas definicións é a seguinte, que aparecía no título desta entrada: a*0 = 0, ou algo máis prolixamente: a composición dun elemento calquera dun anel con 0 (lembrade, o elemento neutro do anel baixo a primeira operación, +) mediante a segunda operación (*) é igual a 0. Chámaselle a 0 o absorvente do produto. Unha posíbel demostración sería a seguinte:

1) para comezar, asumimos que o elemento 0, que pertence ao anel ao ser o elemento neutro deste baixo a suma, satisfai a propiedade de ser igual a sí mesmo (como tódolos demais elementos do anel); logo 0 = 0

2) Lembremos que 0 non é un elemento calquera do anel, senón a identidade deste baixo a suma. Iso quería dicir, se lembrades, que 0 sumado a calquera outro elemento danos o mesmo elemento: a + 0 = 0 + a = a. Qué nos sae se decidimos que a sexa = 0? Pois 0 + 0 = 0

3) Dado que o anel ten dúas operacións, podemos aplicarlle a segunda delas cun elemento calquera do anel ás dúas partes desta igualdade: a * (0 + 0) = a*0

4) Dado que a segunda operación é distributiva con respecto á primeira, a expresión anterior podémola transformar en a*0 + a*0 = a*0

5) Coma 0 é a identidade baixo a suma, se lle sumamos 0 á parte dereita da ecuación non se cambia nada (xa que a*0 + 0 = a*0), e podemos reescribila coma a*0 + a*0 = a*0 + 0

6) Non sabemos aínda qué poida ser a*0, pero como ámbolos dous son elementos de U e * é unha operación interna, sabemos que a súa composición ten que ser outro elemento de U. Aquí podemos botar man da chamada propiedade cancelativa, que ven a dicir que se a + b = a + c, logo b = c (podes 'cancelar' os elementos iguais a ámbolos dous lados da igualdade e baixo a mesma operación; algo que practicamos moito na álxebra da educación secundaria, como cando resolves a ecuación 1 + x = 3 restándolle un aos dous lados da ecuación - na práctica, transformaches esta en 1 + x = 1 + 2, e cancelaches os uns). Se na ecuación ca que estamos a traballar, a*0 + a*0 = a*0 + 0, podemos entón 'cancelar' o primeiro sumando de ámbolos dous lados da igualdade, e fica a*0 = 0, que era o que queríamos demostrar.