Different Morphisms

Mes moi ocupado o que vai en curso; pouco tempo tiven para ler, e menos aínda para a bitácora... Agardemos que as cousas mellores en decembro.

Entre as cousas que me ocupan están os estudos de matemáticas, que van moito máis lento do que desexaría. Acabo de rematar a lectura to tema 4, que é unha introdución á álxebra abstracta; a metade do tema explica as estructuras básicas: grupos, aneis e corpos, definidas coma conxuntos cunha ou máis operacións e cunha serie de propiedades anexas (asociatividade, conmutatividade, presenza de elemento neutro e de simétricos) que satisfán en diferentes grados.

A segunda parte ocúpase dalgo aínda máis abstracto, a saber, os homomorfismos, que serían un xeito de comparar estruturas alxebraicas (principalmente, grupos) os uns cos outros. Un homomorfismo de grupo é unha aplicación f que mapea os elementos dun grupo G con operación interna ⊕ aos elementos doutro grupo, chamémoslle H, con operación interna ⊗. Emprego estes símbolos adrede para evitar os convencionais da suma e multiplicación, xa que as operacións internas que poden ter os grupos son do máis variadas.

A lei principal dun homomorfismo é que f é unha aplicación homomórfica cando se cumpre que f(a ⊕ b) = f(a) ⊗ f(b). Isto quere dicir que se collemos un par de elementos calquera do primeiro grupo, chamémoslles a e b, os combinamos coa operación ⊕, xerando un terceiro elemento do grupo, chamémoslle c, e logo aplicamos f(c), o resultado que obtemos, chamémoslle c', e pertencente ao segundo grupo, é o mesmo ca se primeiro aplicásemos f(a) -obtendo un elemento a' no segundo conxunto- e f(b) -obtendo un elemento b' no segundo conxunto- e logo combinásemos os dous coa operación do segundo conxunto: a' ⊗ b' = c'.

Hai varios tipos de homomorfismos dependendo das propiedades da aplicación e das operacións; así, por exemplo, temos endomorfismos (cando a operación é a mesma nun grupo e no outro), isomorfismos (cando a aplicación é bixectiva) e automorfismos (cando se dan as 2 condicións anteriores).

Tamén importantes (anque aínda non me ficou de todo claro porqué; teño que repasalo) son a Imaxe de f, f(G) e o que en español se chama o 'núcleo' (in inglés, kernel), Ke(f), que ven a medir o grado en que a aplicación f non é bixectiva (con varios elementos do grupo inicial mapeando ao elemento neutro do segundo grupo).

Todo como vedes moi abstracto e bastante denso. Mañá teño a proba do tema; xa vos direi como foi...