Making progress - Unit 5

Cando estaba a estudar durante o curso a asignatura de Lenguaje Matemático, o certo é que fiquei atascado no tema que agora sí tiven oportunidade de rematar: o número 5, adicado ás propiedades dos números naturais e dos números enteiros. A raíz do problema non foi que as ditas propiedades fosen moi difíciles de entender, senón no feito de que as demostracións de que ditas propiedades son certas sí que eran complexas e enrevesadas de narices, e comíanse pasos 'obvios' para o escritor que non o eran para mín. En xeral, é o maior problema que lle vexo ao libro de texto de Miguel Delgado e María José Muñoz: o manual en sí está bastante ben, pero cando recurre a demostracións e a exemplos, non se detallan tódolos pasos necesarios; tendo en conta que falamos dun manual de primeiro de carreira, é algo que deberan ter coidado máis (anque sempre cabe a oportunidade de que simplemente o que vos escrebe estas liñas sexa particularme obtuso).

Por suposto, un pode ignorar as demostracións e asumir (e estudar!) as proposicións e teoremas como verdadeiros se do que se trata é de aprobar un exame, pero se queres realmente entender a materia, necesitas poder seguir os argumentos demostrativos; amais, as matemáticas veñen a ser un chisco como construír unha impresionante torre ou escaleira de caracol nun castelo neo-medieval, no que ademais vas reutilizando os chanzos que puxeches atrás para cubrir os ocos que fican por diante: se non entendes unha demostración, tampouco vas entender as que toparás dúas ou tres páxinas máis adiante, porque se constrúen en parte coas ideas e cos elementos da demostración anterior.

Penso que xa teño falado tamén noutra ocasión de que a lectura dun manual de matemáticas non ten nada que ver coa de calquera outro dos libros que engulo a cotío. Aquí é habitual que ler unha soa páxina che leve unha hora enteira, mentres vas desnovelando algunha das demostracións e vendo que todos e cada un dos pasos son intelixíbeis e lóxicos. Cando algún non resulta evidente, hai que por a cachola a traballar, mirar nas páxinas anteriores e, no peor dos casos, buscar máis información na Rede de Redes. Amais de lenta, é unha lectura esgotadora.

Agora que xa está lido e entendido o tema 5, fican por facer os 24 exercicios do seu final, que conto con realizar nos días que restan da semana se Juan Mamoru me deixa (hoxe non foi o caso, ao negarse a ir ao campamento de verán e botar todo o día comigo a bricar, comer e a ver vídeos e debuxos variados). 

Making progress - Unit 4

Anque xa rematei (e aprobei!) a materia de Lenguaje Matemático, non tiven tempo durante o curso de cumprir un dos meus obxectivos, que era o de facer tódolos exercicios do libro de texto. Deste tema só chegara, penso, ata o 6d, onde ficara algo atascado. Agora por fín topei o tempo de facer os 20 exercicios, anque en máis dun tiven que botar a ollada atrás ás solucións, porque estaba atascado. 

Xa falei en entradas anteriores desta unidade, na que se fai unha presentación básica da álxebra universitaria, moi diferente da das ensinanzas medias, e dalgunhas estruturas e relacións básicas: grupos e aneis, corpos, orde e operacións e homomorfismos. 

No que atinxe aos exercicios, foron bastante difíciles de media (tivemos sorte que nos exames e nas probas titoriais caeron os do espectro baixo da táboa: comprobar se dado un conxunto cunhas operacións, estabámos diante dun grupo, dun anel, con divisores de cero ou non, unitario, etc...). O 6d, como vos comentaba, resultoume moi difícil ao comezo, porque non daba visualizado nen sequera o que o enunciado describía, anque na segunda volta resultoume bastante doado. O 14, sobre Ideais, penso que o teño mal e que teño que lerme ben a solución para entendelo. Moitos (coma o 18, o 19 ou o 20) requiren dunha certa 'pillería' matemática (o que se soe chamar 'idea feliz') da que aínda carezo para coller a idea principal que che leva a resolvelos satisfactoriamente.

Non me viría mal repasar o tema cando poida. En todo caso, toca agora volver a ler o capítulo 5, sobre números naturais e enteiros, e pelexar logo cos seus 24 exercicios, dos que non fixera ningún...

εὕρηκα

Pois sí, parece que conseguín aprobar (cun 7,3) a miña primeira materia da UNED, Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números, da que xa vos teño falado en varias ocasións. É un pequeno paso para a humanidade, mais un salto xigantesco para FraVernero... 

Para este curso, nun exceso de prudencia, non me matriculara en máis nada, mais penso ir adiantando cousas, e adicar o segundo trimestre e o verán ao temario de estatística básica. Veremos se non fica no intento, porque tamén penso investir o tempo en realmente consolidar a materia que superei, xa que algúns dos seus conceptos non están todo o asentados que deberan.

No caso (improbábel) de que algún lector desta bitácora lle teña vezo aos números, pode disfrutar da miña explicación/resposta das 10 preguntas que me caeron na proba do pasado día 12, ou da serie en curso na que resposto a tódalas demais preguntas que lle caeron a outras persoas no devandito exame...

Different Morphisms

Mes moi ocupado o que vai en curso; pouco tempo tiven para ler, e menos aínda para a bitácora... Agardemos que as cousas mellores en decembro.

Entre as cousas que me ocupan están os estudos de matemáticas, que van moito máis lento do que desexaría. Acabo de rematar a lectura to tema 4, que é unha introdución á álxebra abstracta; a metade do tema explica as estructuras básicas: grupos, aneis e corpos, definidas coma conxuntos cunha ou máis operacións e cunha serie de propiedades anexas (asociatividade, conmutatividade, presenza de elemento neutro e de simétricos) que satisfán en diferentes grados.

A segunda parte ocúpase dalgo aínda máis abstracto, a saber, os homomorfismos, que serían un xeito de comparar estruturas alxebraicas (principalmente, grupos) os uns cos outros. Un homomorfismo de grupo é unha aplicación f que mapea os elementos dun grupo G con operación interna ⊕ aos elementos doutro grupo, chamémoslle H, con operación interna ⊗. Emprego estes símbolos adrede para evitar os convencionais da suma e multiplicación, xa que as operacións internas que poden ter os grupos son do máis variadas.

A lei principal dun homomorfismo é que f é unha aplicación homomórfica cando se cumpre que f(a ⊕ b) = f(a) ⊗ f(b). Isto quere dicir que se collemos un par de elementos calquera do primeiro grupo, chamémoslles a e b, os combinamos coa operación ⊕, xerando un terceiro elemento do grupo, chamémoslle c, e logo aplicamos f(c), o resultado que obtemos, chamémoslle c', e pertencente ao segundo grupo, é o mesmo ca se primeiro aplicásemos f(a) -obtendo un elemento a' no segundo conxunto- e f(b) -obtendo un elemento b' no segundo conxunto- e logo combinásemos os dous coa operación do segundo conxunto: a' ⊗ b' = c'.

Hai varios tipos de homomorfismos dependendo das propiedades da aplicación e das operacións; así, por exemplo, temos endomorfismos (cando a operación é a mesma nun grupo e no outro), isomorfismos (cando a aplicación é bixectiva) e automorfismos (cando se dan as 2 condicións anteriores).

Tamén importantes (anque aínda non me ficou de todo claro porqué; teño que repasalo) son a Imaxe de f, f(G) e o que en español se chama o 'núcleo' (in inglés, kernel), Ke(f), que ven a medir o grado en que a aplicación f non é bixectiva (con varios elementos do grupo inicial mapeando ao elemento neutro do segundo grupo).

Todo como vedes moi abstracto e bastante denso. Mañá teño a proba do tema; xa vos direi como foi... 

a*0 = 0

Como vos contaba nunha entrada recente, o tema 4 de Lenguaje Matemático ocúpase de estruturas alxebraicas elementais: grupos, aneis e corpos. En todas elas temos a combinación dun conxunto de elementos (que non teñen porqué ser números) e unha ou varias operacións para combinar eses elementos (que non teñen porqué ser operacións coñecidas e familiares como a suma ou a multiplicación, anque os símbolos de ámbalas dúas soen empregarse nestes eidos). Dependendo das 'restriccións' que impoñemos, falamos dunha ou doutra estrutura.

Por exemplo, un grupo é un conxunto (chamémoslle U) cunha soa operación (representada exemplo polo símbolo  + ) e coas seguintes propiedades:

-a operación é interna (o que quere dicir que se compós dous elementos, a e b, do conxunto U mediante a operación do grupo, o resultado tamén é un elemento do conxunto U: a + b = c e  a, b, c ∈ U

-a operación é asociativa, tal que para calesquera elementos a, b e c ∈ U, (a+b) + c = a + (b+c)

-a operación conta cun elemento neutro e, tal que calquera elemento composto con e resulta no mesmo elemento: a + e = e + a = a. Se a operación é a suma, o neutro sería o 0, xa que a + 0 = 0 + a = a

-a operación conta, para cada elemento do grupo, cun inverso, (-a), tal que a + (-a) = e

Os grupos resultan ser moi útiles nas matemáticas tanto teóricas como aplicadas. Pasando á seguinte estrutura (a que estou estudando agora) temos os aneis, que se definen así:

Un anel é un conxunto (chamémoslle U) con dúas operacións internas (por exemplo, + e *) e coas seguintes propiedades:

-baixo unha das operacións (+), o conxunto forma un grupo conmutativo, ou abeliano (isto é un tipo especial de grupo onde para calesquera elementos a e b  ∈ U, a orde en que se compoñen non altera o resultado final: a + b = b + a. Isto pode parecer obvio, pero a maioría dos grupos non o cumpren)

-a segunda operación é asociativa: (a*b) * c = a * (b*c)

-a segunda operación é distributiva con respecto á primeira, é dicir: a*(b+c) = (a*b) + (a*c)

Un xeito de velo é dicir que un anel é un intento parcialmente frustrado (ou parcialmente exitoso; o caso é ver o vaso medio cheo ou medio baleiro) de construír dous grupos a partir dun conxunto e de dúas operacións. Temos un grupo completo cunha das operacións e outro a medias coa outra, con algunhas das características dos grupos, pero non todas. 

Os números que aprendemos na escola permíten que nos topemos algúns exemplos coñecidos destas estruturas. Así, Z+ é un grupo (o dos números enteiros, ... -2, -1, 0, 1, 2 ... baixo a operación suma) e Z un anel (os números enteiros de novo baixo as dúas operacións de suma e multiplicación).

Entre os exemplos de cousas non triviais que hai que demostrar partindo destas definicións é a seguinte, que aparecía no título desta entrada: a*0 = 0, ou algo máis prolixamente: a composición dun elemento calquera dun anel con 0 (lembrade, o elemento neutro do anel baixo a primeira operación, +) mediante a segunda operación (*) é igual a 0. Chámaselle a 0 o absorvente do produto. Unha posíbel demostración sería a seguinte:

1) para comezar, asumimos que o elemento 0, que pertence ao anel ao ser o elemento neutro deste baixo a suma, satisfai a propiedade de ser igual a sí mesmo (como tódolos demais elementos do anel); logo 0 = 0

2) Lembremos que 0 non é un elemento calquera do anel, senón a identidade deste baixo a suma. Iso quería dicir, se lembrades, que 0 sumado a calquera outro elemento danos o mesmo elemento: a + 0 = 0 + a = a. Qué nos sae se decidimos que a sexa = 0? Pois 0 + 0 = 0

3) Dado que o anel ten dúas operacións, podemos aplicarlle a segunda delas cun elemento calquera do anel ás dúas partes desta igualdade: a * (0 + 0) = a*0

4) Dado que a segunda operación é distributiva con respecto á primeira, a expresión anterior podémola transformar en a*0 + a*0 = a*0

5) Coma 0 é a identidade baixo a suma, se lle sumamos 0 á parte dereita da ecuación non se cambia nada (xa que a*0 + 0 = a*0), e podemos reescribila coma a*0 + a*0 = a*0 + 0

6) Non sabemos aínda qué poida ser a*0, pero como ámbolos dous son elementos de U e * é unha operación interna, sabemos que a súa composición ten que ser outro elemento de U. Aquí podemos botar man da chamada propiedade cancelativa, que ven a dicir que se a + b = a + c, logo b = c (podes 'cancelar' os elementos iguais a ámbolos dous lados da igualdade e baixo a mesma operación; algo que practicamos moito na álxebra da educación secundaria, como cando resolves a ecuación 1 + x = 3 restándolle un aos dous lados da ecuación - na práctica, transformaches esta en 1 + x = 1 + 2, e cancelaches os uns). Se na ecuación ca que estamos a traballar, a*0 + a*0 = a*0 + 0, podemos entón 'cancelar' o primeiro sumando de ámbolos dous lados da igualdade, e fica a*0 = 0, que era o que queríamos demostrar.

Making progress - unit 3

Cando por diferentes motivos, alá por decembro do ano pasado, aparquei o traballo no volume de Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números, conseguira chegar, sen rematalo, ao tema 3, o segundo dos adicados a Teoría de Conxuntos, e que agora sí puiden rematar, xunto cos exercicios de final de unidade. O material básicamente divídise en dous apartados, que explican relacións entre conxuntos e aplicacións entre conxuntos.

Unha relación ven a ser unha conexión dos elementos dun conxunto A cos dun conxunto B (onde este conxunto B pode ser o A do que se partía), que se pode visualizar ben coma pares (x,y) -onde x pertence a A e y a B)- ou como 'flechas' (o elemento x 'lévanos' ou 'transfórmase' no elemento y). Explícanse varias propiedades que poden ter as relacións (reflexiva, simétrica, antisométrica, transitiva), e defínense relacións 'especiais' que teñen varias destas propiedades, a saber:

-Relacións de equivalencia (as que son reflexivas, simétricas e transitivas)

-Relacións de orde (as que son reflexivas, antisimétricas e transitivas)

Logo explícanse características de cada un destes tipos de relacións, e de conxuntos que as teñen.

A segunda parte (que é a que lera por enriba e non entendera ben a primeira volta) está adicada ás aplicacións, que son un tipo de relacións, anque engadindo unha restricción: para que unha relación sexa unha aplicación, os elementos x do conxunto A teñen que emparellarse cun (e con só un) elemento do conxunto B. Trasladándoo a unha imaxe visual doada de entender, de cada elemento de A ten que saír unha (e só unha) flecha. Non poden quedar elementos sen flecha, nen elementos que 'disparen' máis dunha flecha:

Do mesmo xeito que coas relacións, as aplicacións tamén entran dentro de varias clases: poden ser inxectivas (cada elemento x de A ten que mapear a un elemento distinto de B), sobrexectivas (tódolos elementos de B teñen que ser mapeados por algún(s) elemento(s) de A) e bixectivas (son as dúas cousas á vez).

No que atinxe aos exercicios, foron dunha dificultade variábel, anque relativamente alta. Quitando despistes propios e problemas de interpretación, os únicos que me deron problemas foron o 11 e o 20. No 11, dadas unhas relacións alxebraicas, había que determinan qué propiedades tiñan e se, xa que logo, eran de orde ou de equivalencia. As primeiras sobretodo requerían ter moito tento e pensar moi profundamente. No 20 traballábanse con composicións de aplicacións, onde fas unha aplicación e logo outra - por exemplo, (g ∘ f ), onde primeiro fas f, levando elementos do conxunto A ao conxunto B, e logo fas g, levando elementos do conxunto B ao conxunto C), e tiñas que demostrar que, partindo, por exemplo, de que (g ∘ f ) era inxectiva (ou sobrexectiva), qué se podía saber de f e/ou de g.

No seguinte capítulo deixamos por fín atrás os conxuntos e pasamos aos rudimentos da álxebra como se entende a nivel universitario (xa non como resolución de ecuacións e despexe de incógnitas, senón como propiedades abstractas de obxectos alxebraicos coma grupos, aneis e corpos), anque non saímos de todo dos conxuntos, xa que estas estruturas son básicamente conxuntos cunha serie de 'restriccións' baseadas precisamente nesas aplicacións e relacións que estivemos a ver na presente entrada.

Back to square 2

Levoume máis tempo do que desexaría poder reanudar os exercicios e o estudo do libro de Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números. O tema 2 é o primeiro dun par centrado na Teoría Cantoriana dos conxuntos: definición, operacións, produto cartesián, etc... A lóxica válida para proposicións que víamos no capítulo anterior espándese agora á lóxica de predicados, que permite facer proposicións sobre tódolos elementos dun conxunto de partida. Explícanse operacións que se visualizan moi ben cos diagramas de Venn, coma a unión (∪), a disxunción (∩), a diferenza (\), a diferenza simétrica (Δ) e o complementario (A^c).  Tamén entraron os 'cuantificadores': existe (∃) e 'para todo' (∀). Moitos dos exercicios do libro de texto (e desta tanda había 25!) eran 'computacións' algo farragosas para simplificar e comprobar igualdades de expresións empregando estes conectores.

Nalgúns exercicios custábame entender polo enunciado qué é o que se pedía, anque unha vez comprobado, non era excesivamente difícil facelos. Algún erro tiven de despiste (coma en 17, esquecéndome de que o valor de x viña dado no propio enunciado); nalgún caso, a miña intuición estivo máis acertada do que o meu cálculo (coma no 12, onde se descubre que o complementario da Unión de conxuntos A(i) é a Intersección de conxuntos do complementario de A(i).

Agardemos avance máis rápido no tema 3, que é ata onde chegara (sen rematalo?) moitos meses atrás.

Back to square 1

Como xa vos teño comentado, este curso púxenme a choiar de xeito académico coas mates; porén, visicitudes xerais e particulares fixeron que non dispuxese do tempo que necesitaba investir nelas, e seguramente pequei de ambicioso na idea de cursar tres materias nun só ano. Nos meses que fican ata setembro, vou ver se son capaz de resolver a de Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números, e ei empregar un anaco desta bitácora coma diario de autoaprendizaxe onde ir colando notas, reflexións e comentarios.

Acabo de refacer os 12 exercicios do tema 1 do libro. Cometín máis erros dos que agardaba: cousas a ter en conta:

-O 5a (un exercicio de transformar unhas frases de linguaxe ordinaria en proposicións lóxicas) penso que non o teño mal, xa que hai un certo grado de subxectividade á hora de decidir qué constitúe unha proposición; as frases eran 'Si salto en vertical, entonces caigo en el mismo sitio. He saltado y no he caído en el mismo sitio. Luego, no he saltado en vertical'. O que se agardaba era que reflexásemos a lei 'modus tollendo tollens', a saber, (p → q) ∧ ¬q ⇒ ¬p, donde p: "salto en vertical" e q: "caigo en el mismo sitio". Eu creei tres proposicións a partir destas frases, a saber, p: "salto", q: "me desplazo verticalmente" e r: "caigo en el mismo sitio", e as expresión lóxicas que me saía eran (p∧q) → r; p∧¬r; ¬q ou (tentando sintetizar todo) p∧¬r → ¬q.

-O exercicio 8 era un de creación de proposicións clausuladas, o cal non é excesivamente complexo, pero sí latoso (como nunha multiplicación por moitas cifras, é doado colar un despiste que che dea ao trate coa calculación). Tiven 3 erros (nos subapartados a, c e e), pero foron todos o mesmo, a saber: cando tes unha disxunción e unha das proposicións é unha tautoloxía (= 1), a disxunción tamén é unha tautoloxía: p∨1 = 1. Aquí metín a zoca porque é moi similar ao caso cando tes conxunción en vez de disxunción, e nese caso, o resultado é a proposición mesma: p∧1 = p.

-O exercicio 11 dérame problemas a primeira vez que o fixera e volveumos a dar agora, básicamente porque o que pide é algo que non se explica no libro de texto. O exercicio proporciónache os resultados da táboa de verdade dunha proposición (por exemplo, 0110) e logo pídeche que atopes un par de proposicións equivalentes a esa táboa. O xeito máis sinxelo é o que segue: ao ter catro ringleiras, esta táboa de verdade é o resultado das combinacións de dúas proposicións nucleares, p e q.  A táboa con tódolos posíbeis valores destas dúas e as súas negacións sería:

p       q      ¬p     ¬q

0       0      1        1 

0       1      1        0

1       0      0        1

1       1      0        0

Para o exemplo, 0110, primeiro mira en qué posicións a proposición ten valor de 1 (neste caso, segunda e terceira). Vas ás correspondentes filas da táboa e buscas as proposicións que teñen valor 1 nesas filas - neste caso, q e ¬p na fila 2, p e ¬q na fila 3. Se combinamos cada par destas proposicións con conxunción (que só emitirá un valor de 1 se as dúas proposicións teñen 1 tamén), o resultado é (¬p∧q) e (p∧¬q), cos valores 0100 e 0010 respectivamente. Se xuntamos agora estes dous con disxunción (que emite valor de 1 sempre e cando algunha das dúas proposicións teña 1 na mesma posición) o resultado é 

(¬p∧q)∨(p∧¬q), que reúne a táboa de verdade requerida (0110).

Para conseguir unha segunda proposición equivalente podemos manipular a proposición obtida mediantes reglas lóxicas (por exemplo, a distributiva). Outro método é aplicar a mesma estratexia que antes pero 'ao revés': no canto de fixarnos en cándo as proposicións teñen valor 1, fixámonos en cándo teñen valor 0; neste caso, sáennos p e q na fila 1 e ¬p e ¬q na fila 4. Se as combinamos con disxunción temos (p∨q) e (¬p∨¬q), cos valores 0111 e 1110 respectivamente. Se xuntamos agora estes dous con conxunción  (que esixe que as columnas equivalentes teñan ámbalas dúas 1 para dar un resultado de 1), conseguimos o resultado que necesitábamos: (p∨q)∧(¬p∨¬q), que reúne a táboa de verdade requerida (0110).