quarta-feira, setembro 30, 2020

Libros do Mes

 Hasta que el álgebra os separe de Javier Fresán

*The Letter to Ren An de Stephen Durrant et al.


*Lenguaje matemático, conjuntos y números de Miguel Delgado e Mª José Muñoz


*Deep Down Things: The Breathtaking Beauty of Particle Physics de Bruce A. Schumm [E]


*The Princeton Companion to Mathematics de Timothy Gowers (ed.)


sábado, setembro 12, 2020

O Vernero que foi - Setembro '09

 A chegada do outono topábame co máster do universo rematado e ben rematado, e coa volta á rutina de estudo e preparación de oposición que deixara aparcada por un ano. Contaba erradamente, como se demostraría uns meses despois, con que o ciclo bienal -tal as cenouras- había traerme en 2010 un segundo intento de acceder ao mandarinato inferior de Xeografía e Historia, e comecei a repasar novamente o temario. On the side, proseguía a miña colaboración co suplemento cultural do ABC galego, que neses días me deparou a agradábel sorpresa dunha entrevista a Salman Rushdie na Fundación Caixa Galicia de Coruña, onda mariña de cristal e metacrilato adentrándose nos cantóns da cidade medieval.

De Rushdie só lera daquela Os Versos Satánicos, cortesía dos fondos sen fondo da facultade de filoloxía; levaba para asinar a recén saída A Encantadora de Florencia (edición en inglés de tapa branda; moi difícil conseguir en pouco tempo unha edición máis permanente), que había ler tempo despois, xunto coa que discutíbelmente é a súa mellor novela, Os Fillos da Medianoite. A seguinte que querería ollar é Shame, mais (volvendo ao rego do fetichismo das edicións) aínda non dei topado unha edición boa que mercar.

A entrevista (breve, e moi mellorábel; seguramente a poidades topar logo dalgunha pescuda virtual) permitiume, porén, estar perto do Grande e parolar un chisco con este xenio de Mumbai, algo que un mitómano coma mín non deixa de agradecer. 


Cando por fín topei tempo para este exemplar, léndoo coetáneamente ao Chámome Vermello de Orhan Pamuk, puiden apreciar a fermosa tracería dos dous e un elo común que aparece prolixamente nos dous volumes: o mundo islámico dos Imperios da Pólvora do século XVI (Otomanos, Safávidas e Mongois da India) e o común tesouro cultural da arte da miniatura persa que tanto se valoraba nestes imperios e tan ben se propagandiza nestas novelas; un arte que dende aquela se tornou nun dos meus numerosos hobby-horses, con varios libros lidos e outros agardando, e coma sempre pasa nestes eidos, abrindo a porta a novos eidos e xoias engastadas na cadea (notoriamente, a poesía persa que as miniaturas decoran, e sinaladamente, as novelas en verso de Nizami Ganjavi).

sábado, setembro 05, 2020

a*0 = 0

Como vos contaba nunha entrada recente, o tema 4 de Lenguaje Matemático ocúpase de estruturas alxebraicas elementais: grupos, aneis e corpos. En todas elas temos a combinación dun conxunto de elementos (que non teñen porqué ser números) e unha ou varias operacións para combinar eses elementos (que non teñen porqué ser operacións coñecidas e familiares como a suma ou a multiplicación, anque os símbolos de ámbalas dúas soen empregarse nestes eidos). Dependendo das 'restriccións' que impoñemos, falamos dunha ou doutra estrutura.

Por exemplo, un grupo é un conxunto (chamémoslle U) cunha soa operación (representada exemplo polo símbolo  + ) e coas seguintes propiedades:

-a operación é interna (o que quere dicir que se compós dous elementos, a e b, do conxunto U mediante a operación do grupo, o resultado tamén é un elemento do conxunto U: a + b = c e  a, b, c ∈ U

-a operación é asociativa, tal que para calesquera elementos a, b e c ∈ U, (a+b) + c = a + (b+c)

-a operación conta cun elemento neutro e, tal que calquera elemento composto con e resulta no mesmo elemento: a + e = e + a = a. Se a operación é a suma, o neutro sería o 0, xa que a + 0 = 0 + a = a

-a operación conta, para cada elemento do grupo, cun inverso, (-a), tal que a + (-a) = e

Os grupos resultan ser moi útiles nas matemáticas tanto teóricas como aplicadas. Pasando á seguinte estrutura (a que estou estudando agora) temos os aneis, que se definen así:

Un anel é un conxunto (chamémoslle U) con dúas operacións internas (por exemplo, + e *) e coas seguintes propiedades:

-baixo unha das operacións (+), o conxunto forma un grupo conmutativo, ou abeliano (isto é un tipo especial de grupo onde para calesquera elementos a e b  ∈ U, a orde en que se compoñen non altera o resultado final: a + b = b + a. Isto pode parecer obvio, pero a maioría dos grupos non o cumpren)

-a segunda operación é asociativa: (a*b) * c = a * (b*c)

-a segunda operación é distributiva con respecto á primeira, é dicir: a*(b+c) = (a*b) + (a*c)

Un xeito de velo é dicir que un anel é un intento parcialmente frustrado (ou parcialmente exitoso; o caso é ver o vaso medio cheo ou medio baleiro) de construír dous grupos a partir dun conxunto e de dúas operacións. Temos un grupo completo cunha das operacións e outro a medias coa outra, con algunhas das características dos grupos, pero non todas. 

Os números que aprendemos na escola permíten que nos topemos algúns exemplos coñecidos destas estruturas. Así, Z+ é un grupo (o dos números enteiros, ... -2, -1, 0, 1, 2 ... baixo a operación suma) e Z un anel (os números enteiros de novo baixo as dúas operacións de suma e multiplicación).

Entre os exemplos de cousas non triviais que hai que demostrar partindo destas definicións é a seguinte, que aparecía no título desta entrada: a*0 = 0, ou algo máis prolixamente: a composición dun elemento calquera dun anel con 0 (lembrade, o elemento neutro do anel baixo a primeira operación, +) mediante a segunda operación (*) é igual a 0. Chámaselle a 0 o absorvente do produto. Unha posíbel demostración sería a seguinte:

1) para comezar, asumimos que o elemento 0, que pertence ao anel ao ser o elemento neutro deste baixo a suma, satisfai a propiedade de ser igual a sí mesmo (como tódolos demais elementos do anel); logo 0 = 0

2) Lembremos que 0 non é un elemento calquera do anel, senón a identidade deste baixo a suma. Iso quería dicir, se lembrades, que 0 sumado a calquera outro elemento danos o mesmo elemento: a + 0 = 0 + a = a. Qué nos sae se decidimos que a sexa = 0? Pois 0 + 0 = 0

3) Dado que o anel ten dúas operacións, podemos aplicarlle a segunda delas cun elemento calquera do anel ás dúas partes desta igualdade: a * (0 + 0) = a*0

4) Dado que a segunda operación é distributiva con respecto á primeira, a expresión anterior podémola transformar en a*0 + a*0 = a*0

5) Coma 0 é a identidade baixo a suma, se lle sumamos 0 á parte dereita da ecuación non se cambia nada (xa que a*0 + 0 = a*0), e podemos reescribila coma a*0 + a*0 = a*0 + 0

6) Non sabemos aínda qué poida ser a*0, pero como ámbolos dous son elementos de U e * é unha operación interna, sabemos que a súa composición ten que ser outro elemento de U. Aquí podemos botar man da chamada propiedade cancelativa, que ven a dicir que se a + b = a + c, logo b = c (podes 'cancelar' os elementos iguais a ámbolos dous lados da igualdade e baixo a mesma operación; algo que practicamos moito na álxebra da educación secundaria, como cando resolves a ecuación 1 + x = 3 restándolle un aos dous lados da ecuación - na práctica, transformaches esta en 1 + x = 1 + 2, e cancelaches os uns). Se na ecuación ca que estamos a traballar, a*0 + a*0 = a*0 + 0, podemos entón 'cancelar' o primeiro sumando de ámbolos dous lados da igualdade, e fica a*0 = 0, que era o que queríamos demostrar.


quinta-feira, setembro 03, 2020