Some Algebra

Sigo pelexando coas materias do grado - definitivamente, collín demasiadas! Aquí tedes, por se vos interesase, a primeira folla entregábel de actividades de Álxebra Lineal.

More bits and pieces

Dúas demostracións medio feitas que ficaron pendentes como tarefa a completar en Análisis 1. Velaiquí están. Ámbalas dúas teñen que ver con números e a Propiedade Arquimediana: entre dous números enteiros sempre hai un real, entre dous reais sempre hai un racional.

Addendum: hai un pequeno erro na primeira das demostracións, por ter escollido mal as desigualdades que definen os elementos do conxunto B. Logo de que o profesor me dera unha pista, aquí está a versión 'axeitada'.

Bit and pieces

Hoxe temos outra sesión de Análise I na que imos ver o concepto de inducción e as demostracións que se poden facer empregándoo. Quedaron pendentes tres exercicios de ínfimos e emprego da propiedade arquimediá que acabo de rematar -para este último, necesitei dunha pista do docente. Aquí tedes a ligazón.

Cometeron dous erros

Hoxe pola mañá realicei o test de autoavaliación do tema 1 de Álxebra Lineal. Coma na célebre película, cometín dous erros:

Estiven a última hora cavilando o porqué de ditos erros. Un deles é trivial, e débese a ler mal as respostas, o outro en cambio é de despiste e non ter feito 'todo o traballo' necesario.

Na pregunta 7, dado Z e as dúas operacións que se nos presentan, pregúntase se (Z,*,.) é un anel. A miña respuesta foi sí polas seguintes razóns:

a) p*q = p+q-8 é un grupo conmutativo, xa que a operación defínese como unha suma de números enteiros, e (Z,+) é un grupo conmutativo.

b) a segunda operación, p.q = p+q-pq cumpre a propiedade asociativa.

Esquecéuseme comprobar que a segunda operación cumpre a propiedade distributiva respecto á primera, ou sexa, que p.(q*r) é igual a (pq)*(pr). Logo de facer as operacións, vexo que non. A primeira da p+q+r-8-pq-pr+p8 e a segunda p+q-pq+p+r-pr-8. 

No caso da pregunta 8, o enunciado pregunta cal é falsa, e metínme en reflexións complexas porque simplemente non asimilei que por forza tiña que ser (.) non cumpre a propiedade asociativa, xa que se isto non se da, (A,+,.) non pode ser anel por definición.

Ejercicios - Algebra Lineal, tema 1, sesión 1

 Aquí está el enlace con las soluciones de los 6 ejercicios que teníamos que preparar para hoy, que son sobre grupos, anillos y cuerpos. Muchos de ellos son bastante tediosos (sobre todo cuando hay qe demostrar asociatividad y propiedad distributiva). Pienso que si hubiese empleado la herramienta más sencilla de demostrar que A es subgrupo de B, me podría haber ahorrado mucho trabajo.

Valores absolutos, mínimos e máximos

Onte tivemos a segunda sesión de Análise I, e os seguintes exercicios que vimos na aula fíxenos por adiantado. No canto de empurrarme a escribilos todos en formato dixital, e no caso de que vos interesasen, aquí tedes a ligazón ao pdf cos exercicios feitos a man e escaneados.

Propiedades dos números reais

O profesor de Análisis I deixounos a seguinte tarefa para facer antes da sesión do martes: en base aos 9 axiomas que se nos explicou, mais as propiedades de igualdade e de orde dos números reais, demostrar que os seguintes enunciados son verdadeiros:

Imos alá!

1) 0.x = x.0 por A8 (propiedade commutativa)

0.x = (0+0).x por A2 (neutro da suma) = 0.x + 0.x por A9 (propiedade distributiva)

Se a 0.x = 0.x + 0.x procedemos a sumarlle a esquerda e dereita -0.x (existe por A3, inversos sumativos), fícanos 0 = 0.x, que é igual a 0.x = 0 (propiedade simétrica), QED

2) (-1).x = x.(-1) por A8 (propiedade commutativa)

Para demostrar que  (-1).x é igual a -x temos que demostrar que é o inverso sumativo de x. Para isto, ímoslle sumar x e operar ata que consigamos 0:

(-1).x + x = x(-1+1) por A9 (propiedade distributiva), = x.(0) por A3, inversos sumativos, que é igual a 0, como demostramos no apartado 1.

Dado que (-1).x + x = 0, procedemos a sumarlle a esquerda e dereita -x (existe por A3, inversos sumativos), e fica (-1).x = -x, QED

3) A estratexia global para isto é como a do exercicio anterior. Comezamos sumándolle -(x.y) a ambos lados da igualdade (existe por A3, inversos sumativos):

(-x)(-y) + (-(x.y)) = 0

Se agora lle sumamos (x.y) a ambos lados da ecuación, temos (-x)(-y) + (-(x.y)) + (x.y) = (x.y), os termos centrais desaparecen por A3, e fícanos (-x)(-y) = (x.y), QED.

Cando fixen este exercicio por vez primeira, funme nunha tanxenta para demostrar que -(x.y) era igual a (-x).(y), pensando que deste xeito simplificaba logo o lado esquerdo da igualdade, pero repasándoo agora, penso que é un proceso innecesario.

4) Partimos de x > 0 e sumamos -x a ambos lados da desigualdade, x + (-x) > 0 + (-x)

O lado esquerdo torna 0 por A3, inversos sumativos, e o dereito -x (por A2, neutro da suma):

0 > -x, e a isto podemos darlle a volta por unha das propiedades de orde, x > y iff y < x, e fica

-x < 0, QED

5) Sabemos que x ≤ y (isto sabémolo para os seguintes 5 exercicios).

Sumamos -y a ambos lados da desigualdade (existe por A3, inversos sumativos); a parte dereita da desigualdade reduce a 0, e temos x + (-y) ≤ 0, que se pode reescribir coma x-y ≤ 0, QED

6) Partimos igualmente de x ≤ y, pero esta vez imos sumar (por A3) o inverso sumativo de x, -x:

x + (-x) ≤ y + (-x)

A parte esquerda reduce a 0, e a dereita represéntase de xeito habitual coma y -x, e temos

0 ≤ y -x

e a isto podemos darlle a volta por unha das propiedades de orde, como fixemos no exercicio 3, ficando

y - x ≥ 0, QED

7) Isto demóstranos que a multiplicación por un número real positivo non altera a orde dunha desigualdade. Tomamos, de feito, como punto de partida o resultado de 6) y - x ≥ 0. Como z  ≥ 0, por O6, logo

z(y-x)  ≥ 0

Por A9 (propiedade distributiva) repartimos este z en zy -zx  ≥ 0, e por A3 sumamos a ámbolos lados o inverso sumativo de -zx, zx, e fica:

zy  ≥ zx

Cambiamos a orde dos elementos de cada produto por A8 (propiedade commutativa), e de novo, podemos darlle a volta á expresión por unha das propiedades de orde, como fixemos nos exercicios 3 e 6, e fica: xz ≤ xy, QED

8) Aquí demostramos que a multiplicación por un número real negativo sí altera a orde da desigualdade. Para comezar, énos ventaxoso traballar con -z (que é un número positivo) para poder aplicar o mesmo principio de orde O6 que empregamos en 7), e para o que necesitamos dous números positivos e 0.

-z  ≥ 0 (isto séguese dodamente de que z ≤ 0, e se se quere, aplicando A3 a dita desigualdade).

Volvemos novamente ao demostrado en 6) y-x ≥ 0, e multiplicámolo por -z:

-z(y-x) ≥ 0

Aplicamos A9 (propiedade distributiva) e o demostrado no exercicio 3, de que o produto de dous negaticos é un positivo, e fica:

-zy + zx ≥ 0

Sumamos zy a ámbolos dous lados, e por A3, zx ≥ zy, e por A8 poñemos as z en segunda posición, 

xz  ≥  yz, QED

9) Partimos do que xa sabíamos para estes 5 exercicios, que x ≤ y

Imos multiplicar ámbolos dous lados da desigualdade por x^-1 e y^-1, os inversos multiplicativos de x e y (que existen por A7):

x(x^-1)(y^-1) ≤ y(x^-1)(y^-1)

Facendo uso de A5, A7 e A8 (asociatividade multiplicativa, inversos multiplicativos e commutativade do produto) podemos xuntar inversos en cada lado e convertilos en 1, logo do cal fica:

(y^-1) ≤ (x^-1)

e se reescribimos isto en forma de fracción e dámoslle a volta como fixemos en exercicios anteriores, danos o resultado que queríamos, QED

Premio Abel - Luís Caffarelli

 O premio Abel deste ano foi para Luís Caffarelli, matemático arxentino especializado en ecuacións diferenciais parciais. Moitos parabéns, profesor!

How to slay a beast

No capítulo XIII de Calculus Made Easy, obra de Silvanus P. Thompson, trabállanse fraccións parciais. Un ten unha función racional do tipo 

e o caso é se podemos trocear esta función nunha suma doutras máis sinxelas, idealmente con só un número no numerador. A razón desta manipulación alxebraica é sinxela: se logo un quere diferenciar a función racional (empregando, por exemplo, a regra do cociente) é moito máis sinxelo facelo cunha suma de funcións racionais máis simples. Logo de explicar diferentes estratexias dependendo da función, o libro inclúe 18 exercicios para practicalas. O exemplo que vos puxen enriba é o derradeiro, e o máis atravesado. Levoume unhas cantas voltas resolvelo.

O primeiro que tentei (porque era o último que se explicaba no capítulo) foi multiplicar os polinomios do denominador coa esperanza de que o resultado fose o equivalente dunha expresión elevada a unha potencia, algo do estilo de 

   

  

xa que este tipo de problemas teñen unha solución moi doada. O produto deu como resultado o seguinte polinomio:

. 

Estiven a fedellar un bo chisco para ver se o podía transformar nun polinomio elevado todo el ao cuarto grado. Cunha fracción conseguín unha aproximación bastante boa:

Pero o tentar a cegas non me estaba a levar a ningures. Logo de cavilar un pouco máis, dinme conta de que estaba a perder o tempo. Ningunha fracción deste tipo ía dar un último termo que non o fose outra fracción -e nunca un 16-; se o produto do denominador en cuestión era equivalente a unha potencia dun  polinomio, tiña que ser 

, 

xa que

 

 co que contamos dende o comezo, é irreducíbel (non se pode descompoñer nun produto de polinomios máis sinxelos). Un cálculo rápido demostrou que elevalo a 4 non nos daba o que necesitabamos.

O seguinte paso foi comprobar se 

era tamén un polinomio irreducíbel. Logo dunha rápida división por Ruffini, vin que era divisíbel por 

, 

co que a función racional inicial podía reescribirse como:

Pode parecer que non adiantamos gran cousa, pero coa función racional deste xeito sí que temos unha estratexia descrita no libro de texto para solucionala. Teríamos que esta besta é fragmentábel nos seguintes tres anacos (onde as letras maiúsculas son incógnitas a resolver):

Mais son demasiadas incógnitas! Cunhas cantas manipulacións, puiden deducir que A = -1/6, pero non había xeito de progresar alén diso. Tentei as raíces irracionais do polinomio denominador de Ax + B, pero tampouco me levaban a ningures.

Finalmente, hoxe á mañá, con moita calma, topei a estratexia axeitada, e que ten como punto de partida que a expresión que enriba aparece como Cx+D pode ás veces substituírse por unha expresión nunha soa incógnita sen x. Logo dunha substancial manipulación alxebraica, dín resolto o enigma. Como sería pesado incrustar os pasos todos en latex, se tedes interese podédelos ler aquí e aquí.

O motivo polo que vos escribo todo isto non é nen para gabarme do meu inxenio, nen para rompervos a cabeza, senón simplemente para exemplificar, máis que nada para o eu futuro relector desta bitácora, as estratexias que empreguei para solucionar este problema. Cavilar ben nas estratexias é as máis das veces máis importante que o aquilo que nos preguntaban, ou a súa solución.

Silly Me

No escaso tempo de lecer que me permite o comezo do ano académico estou a lidiar co libro Calculus made easy, de Silvanus P. Thompson, e os seus exercicios. Malia o título, non o estou a topar tan doado, alomenos á altura do tema ao que cheguei recentemente (XI - Maxima and Minima), onde o exercicio típico consiste en visualizar unha figura xeométrica inscrita noutra e calcular as propiedades máximas (volume, area...) das figuras de dentro.

Anque require un chisco de esforzo a visualización e a técnica de resolución deste tipo de problemas, o que me está a romper a cabeza son os meus 'descoidos', erros e despistes computacionais que me levan a error, e que son resultado de pouca práctica computacional. Cousas coma supoñer que se 5x^4 = 5, logo x^4 = 0 (cando é igual a 1), ou ter que elevar ao cadrado a (8-x) e pasarlle o exponente, mal, só ao x, ou o último, tratar a unha expresión elevada a 1/2 coma se estivese elevada a -1/2...

Algo que me frustra tamén bastante é a miña lentitude á hora de resolver problemas. Contaba con que os 11 exercicios desta unidade non me levasen máis de 2 mañás, e xa levarei 2 semanas (anque en total, seguramente non lles adiquei máis de 7 horas ou así por mor de reunións e de preparar cousas para o  traballo). Paciencia, non hai outra ciencia...

O segredo da felicidade

"The secret of life and happiness in two words: be interested"

Dennis Sullivan

Climbing a mountain

Entre os libros da biblioteca municipal de Outes hai unha presada en inglés que foron donados anos atrás, imaxino que por unha familia de británicos que asentaran na nosa terra, e dos que eu son o case único lector. A súa temática é bastante variada (historia de España e de Gran Bretaña, das exploracións oceánicas, textos literarios clásicos, algo de filosofía...), anque un certo predominio de volumes sobre barcos e episodios navais e algunhas cousas de ciencia fan pensar que o seu anterior dono seguramente cursou estudos técnicos, cicaves de enxeñería naval.

Un exemplar co que levaba pelexando longo tempo sen éxito é An Introduction to the Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, de Eves e Newson.

Fitando a folla de empréstitos na contracapa, constato que é un libro que saquei nas seguintes datas: 26-9-00, 17-2-01, 28-10-17 e 31-8-21. Como tal, é un testemuño mudo da miña curiosidade polas matemáticas que tanto debeu sorprender aos que me coñecen e que se manifestou de xeito máis público no último lustro. Xa no ano 2000, cando aínda estaba rematando os estudos de Historia, tentara sen éxito construír unha cimentación na disciplina que topaba coma obstáculos insalvábeis a miña escasa disciplina, as dificultades do autodidactismo, a miña temperá despedida da ciencia (antes do cálculo de 3º  de BUP e COU) e a escaseza de materiais amigábeis e non demasiado abstractos.

Onte conseguín rematar (e entender!) todo o volume, agás un par de apéndices enrevesados, e a satisfacción é a do acadamento do cumio nunha non pequena escalada; haberá montes moito máis altos aos que agatuñar, pero os pequenos éxitos no camiño teñen que ser celebrados como se merecen, e éste fica selado e carimbado en verbas dixitais semipermanentes, aere perennius, para lembrar nos días que están por vir.

Prime numbers

 Sigo moi paseniñamente progresando co libro de Matemática Discreta. Eis os exercicios do apartado 1.2, dos que algún me fixo suar sangue. Agardemos que no exame sexan moi asequíbeis...

Como vou con retraso, a ver se esta tarde leo todo o apartado 1.3 (sobre Inducción) e comezo os exercicios, xa que para comezos de decembro debera ter rematado toda a sección de Teoría de Números.

Matemática Discreta - exercicios do tema 1.1

Este curso na UNED matriculeime en 2 materias: Matemática Discreta no primeiro cuatrimestre e Xeometría Básica no segundo. Agardemos que dea feito co tempo que teño para adicarlle (estas pasadas dúas semanas case ningún, ao ter a a Mamo enfermo e na casa polas mañás).

O primeiro dos 15 minitemas do libro de texto (o 1.1), parte do bloque de Teoría Elemental de Números, vai sobre os Algoritmos da División e de Euclides. É material relativamente sinxelo, e os sete exercicios de final de tema non me deron demasiadas dificultades agás o 2, que requiría, penso, dunha certa 'astucia manipulativa alxebraica' da que aínda carezo. Nalgún caso, a resposta conseguina de xeito seguramente máis traballoso do estritamente necesario...

Making progress - Unit 5

Cando estaba a estudar durante o curso a asignatura de Lenguaje Matemático, o certo é que fiquei atascado no tema que agora sí tiven oportunidade de rematar: o número 5, adicado ás propiedades dos números naturais e dos números enteiros. A raíz do problema non foi que as ditas propiedades fosen moi difíciles de entender, senón no feito de que as demostracións de que ditas propiedades son certas sí que eran complexas e enrevesadas de narices, e comíanse pasos 'obvios' para o escritor que non o eran para mín. En xeral, é o maior problema que lle vexo ao libro de texto de Miguel Delgado e María José Muñoz: o manual en sí está bastante ben, pero cando recurre a demostracións e a exemplos, non se detallan tódolos pasos necesarios; tendo en conta que falamos dun manual de primeiro de carreira, é algo que deberan ter coidado máis (anque sempre cabe a oportunidade de que simplemente o que vos escrebe estas liñas sexa particularme obtuso).

Por suposto, un pode ignorar as demostracións e asumir (e estudar!) as proposicións e teoremas como verdadeiros se do que se trata é de aprobar un exame, pero se queres realmente entender a materia, necesitas poder seguir os argumentos demostrativos; amais, as matemáticas veñen a ser un chisco como construír unha impresionante torre ou escaleira de caracol nun castelo neo-medieval, no que ademais vas reutilizando os chanzos que puxeches atrás para cubrir os ocos que fican por diante: se non entendes unha demostración, tampouco vas entender as que toparás dúas ou tres páxinas máis adiante, porque se constrúen en parte coas ideas e cos elementos da demostración anterior.

Penso que xa teño falado tamén noutra ocasión de que a lectura dun manual de matemáticas non ten nada que ver coa de calquera outro dos libros que engulo a cotío. Aquí é habitual que ler unha soa páxina che leve unha hora enteira, mentres vas desnovelando algunha das demostracións e vendo que todos e cada un dos pasos son intelixíbeis e lóxicos. Cando algún non resulta evidente, hai que por a cachola a traballar, mirar nas páxinas anteriores e, no peor dos casos, buscar máis información na Rede de Redes. Amais de lenta, é unha lectura esgotadora.

Agora que xa está lido e entendido o tema 5, fican por facer os 24 exercicios do seu final, que conto con realizar nos días que restan da semana se Juan Mamoru me deixa (hoxe non foi o caso, ao negarse a ir ao campamento de verán e botar todo o día comigo a bricar, comer e a ver vídeos e debuxos variados). 

Truth and Beauty

Na congreso de Teorías de Cordas do ano pasado, Robbert Dijkgraaf ten unha magnífica conferencia sobre as relacións da física e a matemática, beleza e verdade que estou a volver a ver e que recomendo encarecidamente:

Dijkgraaf, que é o actual director do Institute for Advanced Studies de Princeton fai honor a este e ao lema de dita institución, en cuxo selo fican representadas, unha a carón da outra, a Verdade e a Beleza, que tamén son musas de FraVernero.

Elliptic Functions

Un dos libros que estou a ler últimamente é o excelente Visions of Infinity, de Ian Stewart, onde se fai un percorrido por varios grandes problemas matemáticos, resoltos ou non. Anque é un libro divulgativo e os capítulos son bastante pequenos, require moita atención, e benefíciase da relectura; porén, todo o que poida dicir dos seus méritos fica curto, é ben merecedor dunha reseña que quizaves lle faga. 

No capítulo de hoxe, sobre a conxetura de Morell, toca un obxecto matemático que me resulta particularmente intrigante: o das funcións elípticas. Para que vos fagades unha idea, son algo semellantes ás funcións trigonométricas que estudáchedes na secundaria (seno, coseno...), pero no plano complexo, e con esteroides. Coma poida que lembredes, unha das características das funcións trigonométricas é que son periódicas: se o sen(x) = y, sendo x e y números reais, hai unha infinitude doutros valores x1, x2, x3... cuxo seno tamén é y; concretamente, son todos aqueles valores que se constrúen sumándolle a x o valor de 2πk, onde k é calquer número enteiro (0, ±1, ±2, ±3...). Cos exemplos anteriores, sen(x) = sen(x±2π(0)) = sen(x±2π(1)) = sen(x±2π(2)) = sen(x±2π(3)) = ... = y.

As funcións trigonométricas teñen un único periodo que se repite; no caso das funcións elípticas, contan con dous periodos. Como dicía enriba, os inputs (os posíbeis valores da incógnita) agora son os números complexos, que se soen representar en variables complexas pola letra z. Unha función elíptica f satisfará a seguinte condición, dados certos números complexos ω1 e ω2 : f(z) = f (z+ω1) = f (z+ω2). Asemade, cada función elíptica forma un enreixado completo de todo o plano complexo C composto por paralelogramos iguais.

O descubrimento destas funcións a partir de integrais elípticas é unha páxina ben fermosa das matemáticas do século dezanove, e inclúe a tódolos sospeitosos habituais (Gauss, Legendre, Abel, Jacobi). Ao parecer, teñen moitas aplicacións prácticas (que non me interesan ren) e conexións coa Teoría de Números e coas Curvas Elípticas, outra curiosísima besta matemática que está por detrás, entre outras moitas cousas, da criptografía moderna e da solución ao último Teorema de Fermat. Disto e máis alá e do que fala o libro de Stewart, abríndome o apetito para cando sexa quen de comprender os formulismos matemáticos. Se queredes visualizalas, é algo difícil, xa que o plano no que viven conta con catro dimensións, pero hai intentos ben coloristas, coma éstes ou estoutros.

Aussonderungsaxiom

Con semellante título, un pensaría que o mantedor vai falar dalgunha unidade especial do Terceiro Reich adicada a algunha 'operación especial' terríbel, mais non; o encabezamento fai referencia a un dos axiomas da Teoría de Conxuntos na formulación de Zermelo e Fraenkel, o que poderíamos traducir coma o Axioma de Especificación, e que ven a dicir algo así coma:

"Para calquer conxunto A e para calquer predicado lóxico P(x) existe un conxunto correspondente, B, cuxos elementos son exactamente os elementos x de A para os cales o predicado P(x) é verdadeiro".

Imaxino que se chama 'de especificación' porque permite especificar un conxunto a partir doutro e dun predicado lóxico que cumpre. No libro Naive Set Theory de Paul R. Halmos que estou lendo explícase un resultado curioso que se deriva deste axioma, e que ten moita relevancia á hora de desterrar da teoría a entidades coma os 'conxuntos de tódolos conxuntos' que acaban xerando contradiccións lóxicas. Como sei que estas frikadas matemáticas interesan en xeral pouco á miña (pequenísima) audiencia, vou deixar a explicación enlazada tan só a un vídeo non tan pequerrecho para os interesados...

Making progress - Unit 4

Anque xa rematei (e aprobei!) a materia de Lenguaje Matemático, non tiven tempo durante o curso de cumprir un dos meus obxectivos, que era o de facer tódolos exercicios do libro de texto. Deste tema só chegara, penso, ata o 6d, onde ficara algo atascado. Agora por fín topei o tempo de facer os 20 exercicios, anque en máis dun tiven que botar a ollada atrás ás solucións, porque estaba atascado. 

Xa falei en entradas anteriores desta unidade, na que se fai unha presentación básica da álxebra universitaria, moi diferente da das ensinanzas medias, e dalgunhas estruturas e relacións básicas: grupos e aneis, corpos, orde e operacións e homomorfismos. 

No que atinxe aos exercicios, foron bastante difíciles de media (tivemos sorte que nos exames e nas probas titoriais caeron os do espectro baixo da táboa: comprobar se dado un conxunto cunhas operacións, estabámos diante dun grupo, dun anel, con divisores de cero ou non, unitario, etc...). O 6d, como vos comentaba, resultoume moi difícil ao comezo, porque non daba visualizado nen sequera o que o enunciado describía, anque na segunda volta resultoume bastante doado. O 14, sobre Ideais, penso que o teño mal e que teño que lerme ben a solución para entendelo. Moitos (coma o 18, o 19 ou o 20) requiren dunha certa 'pillería' matemática (o que se soe chamar 'idea feliz') da que aínda carezo para coller a idea principal que che leva a resolvelos satisfactoriamente.

Non me viría mal repasar o tema cando poida. En todo caso, toca agora volver a ler o capítulo 5, sobre números naturais e enteiros, e pelexar logo cos seus 24 exercicios, dos que non fixera ningún...

εὕρηκα

Pois sí, parece que conseguín aprobar (cun 7,3) a miña primeira materia da UNED, Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números, da que xa vos teño falado en varias ocasións. É un pequeno paso para a humanidade, mais un salto xigantesco para FraVernero... 

Para este curso, nun exceso de prudencia, non me matriculara en máis nada, mais penso ir adiantando cousas, e adicar o segundo trimestre e o verán ao temario de estatística básica. Veremos se non fica no intento, porque tamén penso investir o tempo en realmente consolidar a materia que superei, xa que algúns dos seus conceptos non están todo o asentados que deberan.

No caso (improbábel) de que algún lector desta bitácora lle teña vezo aos números, pode disfrutar da miña explicación/resposta das 10 preguntas que me caeron na proba do pasado día 12, ou da serie en curso na que resposto a tódalas demais preguntas que lle caeron a outras persoas no devandito exame...