Propiedades dos números reais

O profesor de Análisis I deixounos a seguinte tarefa para facer antes da sesión do martes: en base aos 9 axiomas que se nos explicou, mais as propiedades de igualdade e de orde dos números reais, demostrar que os seguintes enunciados son verdadeiros:

Imos alá!

1) 0.x = x.0 por A8 (propiedade commutativa)

0.x = (0+0).x por A2 (neutro da suma) = 0.x + 0.x por A9 (propiedade distributiva)

Se a 0.x = 0.x + 0.x procedemos a sumarlle a esquerda e dereita -0.x (existe por A3, inversos sumativos), fícanos 0 = 0.x, que é igual a 0.x = 0 (propiedade simétrica), QED

2) (-1).x = x.(-1) por A8 (propiedade commutativa)

Para demostrar que  (-1).x é igual a -x temos que demostrar que é o inverso sumativo de x. Para isto, ímoslle sumar x e operar ata que consigamos 0:

(-1).x + x = x(-1+1) por A9 (propiedade distributiva), = x.(0) por A3, inversos sumativos, que é igual a 0, como demostramos no apartado 1.

Dado que (-1).x + x = 0, procedemos a sumarlle a esquerda e dereita -x (existe por A3, inversos sumativos), e fica (-1).x = -x, QED

3) A estratexia global para isto é como a do exercicio anterior. Comezamos sumándolle -(x.y) a ambos lados da igualdade (existe por A3, inversos sumativos):

(-x)(-y) + (-(x.y)) = 0

Se agora lle sumamos (x.y) a ambos lados da ecuación, temos (-x)(-y) + (-(x.y)) + (x.y) = (x.y), os termos centrais desaparecen por A3, e fícanos (-x)(-y) = (x.y), QED.

Cando fixen este exercicio por vez primeira, funme nunha tanxenta para demostrar que -(x.y) era igual a (-x).(y), pensando que deste xeito simplificaba logo o lado esquerdo da igualdade, pero repasándoo agora, penso que é un proceso innecesario.

4) Partimos de x > 0 e sumamos -x a ambos lados da desigualdade, x + (-x) > 0 + (-x)

O lado esquerdo torna 0 por A3, inversos sumativos, e o dereito -x (por A2, neutro da suma):

0 > -x, e a isto podemos darlle a volta por unha das propiedades de orde, x > y iff y < x, e fica

-x < 0, QED

5) Sabemos que x ≤ y (isto sabémolo para os seguintes 5 exercicios).

Sumamos -y a ambos lados da desigualdade (existe por A3, inversos sumativos); a parte dereita da desigualdade reduce a 0, e temos x + (-y) ≤ 0, que se pode reescribir coma x-y ≤ 0, QED

6) Partimos igualmente de x ≤ y, pero esta vez imos sumar (por A3) o inverso sumativo de x, -x:

x + (-x) ≤ y + (-x)

A parte esquerda reduce a 0, e a dereita represéntase de xeito habitual coma y -x, e temos

0 ≤ y -x

e a isto podemos darlle a volta por unha das propiedades de orde, como fixemos no exercicio 3, ficando

y - x ≥ 0, QED

7) Isto demóstranos que a multiplicación por un número real positivo non altera a orde dunha desigualdade. Tomamos, de feito, como punto de partida o resultado de 6) y - x ≥ 0. Como z  ≥ 0, por O6, logo

z(y-x)  ≥ 0

Por A9 (propiedade distributiva) repartimos este z en zy -zx  ≥ 0, e por A3 sumamos a ámbolos lados o inverso sumativo de -zx, zx, e fica:

zy  ≥ zx

Cambiamos a orde dos elementos de cada produto por A8 (propiedade commutativa), e de novo, podemos darlle a volta á expresión por unha das propiedades de orde, como fixemos nos exercicios 3 e 6, e fica: xz ≤ xy, QED

8) Aquí demostramos que a multiplicación por un número real negativo sí altera a orde da desigualdade. Para comezar, énos ventaxoso traballar con -z (que é un número positivo) para poder aplicar o mesmo principio de orde O6 que empregamos en 7), e para o que necesitamos dous números positivos e 0.

-z  ≥ 0 (isto séguese dodamente de que z ≤ 0, e se se quere, aplicando A3 a dita desigualdade).

Volvemos novamente ao demostrado en 6) y-x ≥ 0, e multiplicámolo por -z:

-z(y-x) ≥ 0

Aplicamos A9 (propiedade distributiva) e o demostrado no exercicio 3, de que o produto de dous negaticos é un positivo, e fica:

-zy + zx ≥ 0

Sumamos zy a ámbolos dous lados, e por A3, zx ≥ zy, e por A8 poñemos as z en segunda posición, 

xz  ≥  yz, QED

9) Partimos do que xa sabíamos para estes 5 exercicios, que x ≤ y

Imos multiplicar ámbolos dous lados da desigualdade por x^-1 e y^-1, os inversos multiplicativos de x e y (que existen por A7):

x(x^-1)(y^-1) ≤ y(x^-1)(y^-1)

Facendo uso de A5, A7 e A8 (asociatividade multiplicativa, inversos multiplicativos e commutativade do produto) podemos xuntar inversos en cada lado e convertilos en 1, logo do cal fica:

(y^-1) ≤ (x^-1)

e se reescribimos isto en forma de fracción e dámoslle a volta como fixemos en exercicios anteriores, danos o resultado que queríamos, QED