quinta-feira, junho 22, 2017

Flocos de neve de Koch

"Os flocos de Koch son habitualmente un dos primeiros obxectos fractais aos que son expostos os estudantes, e trátase tamén dun dos primeiros obxectos fractais descritos na historia das matemáticas. A complexa forma aparece na publicación de 1904 do matemático sueco Helge von Koch "Encol dunha curva continua sen tanxentes, construíbel a partir da xeometría elemental". Un obxecto relacionado, a curva de Koch, comeza cun segmento de liña no canto dun triángulo equilátero no mesmo proceso que se emprega para xerar a curva.

Para crear a enrugada curva de Koch, podemos alterar de xeito recursivo o segmento de liña, contemplando a súa xeración dun número infindo de bordes no proceso. Imaxina dividir unha liña en tres partes iguais. A continuación, substitúe a porción central por dúas liñas, as dúas da mesma lonxitude das tres primeiras, de tal xeito que formen unha cuña en forma de V (os bordes superiores dun triángulo equilatero). A forma agora consiste en catro liñas rectas. Para cada unha destas liñas, repite o proceso de dividir e formar cuñas.

Comezando cunha liña de arredor dunha pulgada de lonxitude, a lonxitude desta curva que medra no punto n do proceso será de (4/3) elevado a n pulgadas. Despois duns centos de iteracións, a lonxitude da curva torna máis grande que o diámetro do universo visíbel. De feito, a 'derradeira' curva de Koch ten lonxitude infinda e dimensión fractal de arredor de 1.26, xa que parcialmente enche o plano 2-D no que se debuxa.

A pesar de que o borde dun floco de neve de Koch ten lonxitude infinda, pecha unha área finita (2 por raiz de 3 por s ao cadrado, e todo isto dividido por 5), onde s representa a lonxitude orixinaria do lado ou, de xeito equivalente, a área é simplesmentes 8/5 veces a área do triángulo orixinal. Tede en conta que unha función non ten unha tanxente definida nunha esquina, o que significa que a función non é diferenciábel (non ten derivadas únicas)  nas esquinas. A curva de Koch non é diferenciábel en ningures (porque é tan afiada!), malia que se trata dunha curva contínua".

Cliff A. Pickover, The Math Book 


sábado, junho 03, 2017

Unreasonable practicality

Case medio século atrás, o físico Eugene Wigner preguntábase, nun sonado artigo, arredor da irrazoábel eficacia das Matemáticas á hora de describir o mundo físico, facer prediccións empíricas de sorprendente precisión ou abrir novas liñas de investigación científica. Diferente anque tamén sorpresiva é a irrazoábel practicalidade das Matemáticas; é certo que hai casos concretos onde se desenvolven eidos da disciplina específicamente para acadar resultados efectivos (por exemplo, o invento do Cálculo por Newton e Leibniz para dotar de sólidas ferramentas matemáticas á nova Física da Revolución Científica); máis curioso, porén, é cando investigacións na matemática máis pura e trascendente rematan por ter (e non moito despois do seu desenrolo) aplicacións utilitarias sorpresivas; Isto venme ao maxín pensando en lecturas recentes sobre o cálculo matricial dos británicos Cayley e Sylvester (fundamental, entre outras cousas, para os gráficos e a ilusión de  movemento en computadores), os números primos e aritmética modular (piar básico da criptografía e, polo tanto, da privacidade das mensaxes en internet) ou as xeometrías non euclídeas (a ferramenta chave detrás da Relatividade de Einstein e do GPS).

E non nos enganemos: de non seren polas aplicacións, e malia a súa profundidade, sorpresa, lóxica e beleza, as mates estarían na mesma miserábel posición que as Humanidades, obxetos de escarnio e maldizer nos nosos tempos utilitarios...