Cando por diferentes motivos, alá por decembro do ano pasado, aparquei o traballo no volume de Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números, conseguira chegar, sen rematalo, ao tema 3, o segundo dos adicados a Teoría de Conxuntos, e que agora sí puiden rematar, xunto cos exercicios de final de unidade. O material básicamente divídise en dous apartados, que explican relacións entre conxuntos e aplicacións entre conxuntos.
Unha relación ven a ser unha conexión dos elementos dun conxunto A cos dun conxunto B (onde este conxunto B pode ser o A do que se partía), que se pode visualizar ben coma pares (x,y) -onde x pertence a A e y a B)- ou como 'flechas' (o elemento x 'lévanos' ou 'transfórmase' no elemento y). Explícanse varias propiedades que poden ter as relacións (reflexiva, simétrica, antisométrica, transitiva), e defínense relacións 'especiais' que teñen varias destas propiedades, a saber:
-Relacións de equivalencia (as que son reflexivas, simétricas e transitivas)
-Relacións de orde (as que son reflexivas, antisimétricas e transitivas)
Logo explícanse características de cada un destes tipos de relacións, e de conxuntos que as teñen.
A segunda parte (que é a que lera por enriba e non entendera ben a primeira volta) está adicada ás aplicacións, que son un tipo de relacións, anque engadindo unha restricción: para que unha relación sexa unha aplicación, os elementos x do conxunto A teñen que emparellarse cun (e con só un) elemento do conxunto B. Trasladándoo a unha imaxe visual doada de entender, de cada elemento de A ten que saír unha (e só unha) flecha. Non poden quedar elementos sen flecha, nen elementos que 'disparen' máis dunha flecha:
Do mesmo xeito que coas relacións, as aplicacións tamén entran dentro de varias clases: poden ser inxectivas (cada elemento x de A ten que mapear a un elemento distinto de B), sobrexectivas (tódolos elementos de B teñen que ser mapeados por algún(s) elemento(s) de A) e bixectivas (son as dúas cousas á vez).
No que atinxe aos exercicios, foron dunha dificultade variábel, anque relativamente alta. Quitando despistes propios e problemas de interpretación, os únicos que me deron problemas foron o 11 e o 20. No 11, dadas unhas relacións alxebraicas, había que determinan qué propiedades tiñan e se, xa que logo, eran de orde ou de equivalencia. As primeiras sobretodo requerían ter moito tento e pensar moi profundamente. No 20 traballábanse con composicións de aplicacións, onde fas unha aplicación e logo outra - por exemplo, (g ∘ f ), onde primeiro fas f, levando elementos do conxunto A ao conxunto B, e logo fas g, levando elementos do conxunto B ao conxunto C), e tiñas que demostrar que, partindo, por exemplo, de que (g ∘ f ) era inxectiva (ou sobrexectiva), qué se podía saber de f e/ou de g.
No seguinte capítulo deixamos por fín atrás os conxuntos e pasamos aos rudimentos da álxebra como se entende a nivel universitario (xa non como resolución de ecuacións e despexe de incógnitas, senón como propiedades abstractas de obxectos alxebraicos coma grupos, aneis e corpos), anque non saímos de todo dos conxuntos, xa que estas estruturas son básicamente conxuntos cunha serie de 'restriccións' baseadas precisamente nesas aplicacións e relacións que estivemos a ver na presente entrada.
