Onte tivemos a segunda sesión de Análise I, e os seguintes exercicios que vimos na aula fíxenos por adiantado. No canto de empurrarme a escribilos todos en formato dixital, e no caso de que vos interesasen, aquí tedes a ligazón ao pdf cos exercicios feitos a man e escaneados.
O profesor de Análisis I deixounos a seguinte tarefa para facer antes da sesión do martes: en base aos 9 axiomas que se nos explicou, mais as propiedades de igualdade e de orde dos números reais, demostrar que os seguintes enunciados son verdadeiros:
Imos alá!
1) 0.x = x.0 por A8 (propiedade commutativa)
0.x = (0+0).x por A2 (neutro da suma) = 0.x + 0.x por A9 (propiedade distributiva)
Se a 0.x = 0.x + 0.x procedemos a sumarlle a esquerda e dereita -0.x (existe por A3, inversos sumativos), fícanos 0 = 0.x, que é igual a 0.x = 0 (propiedade simétrica), QED
2) (-1).x = x.(-1) por A8 (propiedade commutativa)
Para demostrar que (-1).x é igual a -x temos que demostrar que é o inverso sumativo de x. Para isto, ímoslle sumar x e operar ata que consigamos 0:
(-1).x + x = x(-1+1) por A9 (propiedade distributiva), = x.(0) por A3, inversos sumativos, que é igual a 0, como demostramos no apartado 1.
Dado que (-1).x + x = 0, procedemos a sumarlle a esquerda e dereita -x (existe por A3, inversos sumativos), e fica (-1).x = -x, QED
3) A estratexia global para isto é como a do exercicio anterior. Comezamos sumándolle -(x.y) a ambos lados da igualdade (existe por A3, inversos sumativos):
(-x)(-y) + (-(x.y)) = 0
Se agora lle sumamos (x.y) a ambos lados da ecuación, temos (-x)(-y) + (-(x.y)) + (x.y) = (x.y), os termos centrais desaparecen por A3, e fícanos (-x)(-y) = (x.y), QED.
Cando fixen este exercicio por vez primeira, funme nunha tanxenta para demostrar que -(x.y) era igual a (-x).(y), pensando que deste xeito simplificaba logo o lado esquerdo da igualdade, pero repasándoo agora, penso que é un proceso innecesario.
4) Partimos de x > 0 e sumamos -x a ambos lados da desigualdade, x + (-x) > 0 + (-x)
O lado esquerdo torna 0 por A3, inversos sumativos, e o dereito -x (por A2, neutro da suma):
0 > -x, e a isto podemos darlle a volta por unha das propiedades de orde, x > y iff y < x, e fica
-x < 0, QED
5) Sabemos que x ≤ y (isto sabémolo para os seguintes 5 exercicios).
Sumamos -y a ambos lados da desigualdade (existe por A3, inversos sumativos); a parte dereita da desigualdade reduce a 0, e temos x + (-y) ≤ 0, que se pode reescribir coma x-y ≤ 0, QED
6) Partimos igualmente de x ≤ y, pero esta vez imos sumar (por A3) o inverso sumativo de x, -x:
x + (-x) ≤ y + (-x)
A parte esquerda reduce a 0, e a dereita represéntase de xeito habitual coma y -x, e temos
0 ≤ y -x
e a isto podemos darlle a volta por unha das propiedades de orde, como fixemos no exercicio 3, ficando
y - x ≥ 0, QED
7) Isto demóstranos que a multiplicación por un número real positivo non altera a orde dunha desigualdade. Tomamos, de feito, como punto de partida o resultado de 6) y - x ≥ 0. Como z ≥ 0, por O6, logo
z(y-x) ≥ 0
Por A9 (propiedade distributiva) repartimos este z en zy -zx ≥ 0, e por A3 sumamos a ámbolos lados o inverso sumativo de -zx, zx, e fica:
zy ≥ zx
Cambiamos a orde dos elementos de cada produto por A8 (propiedade commutativa), e de novo, podemos darlle a volta á expresión por unha das propiedades de orde, como fixemos nos exercicios 3 e 6, e fica: xz ≤ xy, QED
8) Aquí demostramos que a multiplicación por un número real negativo sí altera a orde da desigualdade. Para comezar, énos ventaxoso traballar con -z (que é un número positivo) para poder aplicar o mesmo principio de orde O6 que empregamos en 7), e para o que necesitamos dous números positivos e 0.
-z ≥ 0 (isto séguese dodamente de que z ≤ 0, e se se quere, aplicando A3 a dita desigualdade).
Volvemos novamente ao demostrado en 6) y-x ≥ 0, e multiplicámolo por -z:
-z(y-x) ≥ 0
Aplicamos A9 (propiedade distributiva) e o demostrado no exercicio 3, de que o produto de dous negaticos é un positivo, e fica:
-zy + zx ≥ 0
Sumamos zy a ámbolos dous lados, e por A3, zx ≥ zy, e por A8 poñemos as z en segunda posición,
xz ≥ yz, QED
9) Partimos do que xa sabíamos para estes 5 exercicios, que x ≤ y
Imos multiplicar ámbolos dous lados da desigualdade por x^-1 e y^-1, os inversos multiplicativos de x e y (que existen por A7):
x(x^-1)(y^-1) ≤ y(x^-1)(y^-1)
Facendo uso de A5, A7 e A8 (asociatividade multiplicativa, inversos multiplicativos e commutativade do produto) podemos xuntar inversos en cada lado e convertilos en 1, logo do cal fica:
(y^-1) ≤ (x^-1)
e se reescribimos isto en forma de fracción e dámoslle a volta como fixemos en exercicios anteriores, danos o resultado que queríamos, QED
