Elliptic Functions

Un dos libros que estou a ler últimamente é o excelente Visions of Infinity, de Ian Stewart, onde se fai un percorrido por varios grandes problemas matemáticos, resoltos ou non. Anque é un libro divulgativo e os capítulos son bastante pequenos, require moita atención, e benefíciase da relectura; porén, todo o que poida dicir dos seus méritos fica curto, é ben merecedor dunha reseña que quizaves lle faga. 

No capítulo de hoxe, sobre a conxetura de Morell, toca un obxecto matemático que me resulta particularmente intrigante: o das funcións elípticas. Para que vos fagades unha idea, son algo semellantes ás funcións trigonométricas que estudáchedes na secundaria (seno, coseno...), pero no plano complexo, e con esteroides. Coma poida que lembredes, unha das características das funcións trigonométricas é que son periódicas: se o sen(x) = y, sendo x e y números reais, hai unha infinitude doutros valores x1, x2, x3... cuxo seno tamén é y; concretamente, son todos aqueles valores que se constrúen sumándolle a x o valor de 2πk, onde k é calquer número enteiro (0, ±1, ±2, ±3...). Cos exemplos anteriores, sen(x) = sen(x±2π(0)) = sen(x±2π(1)) = sen(x±2π(2)) = sen(x±2π(3)) = ... = y.

As funcións trigonométricas teñen un único periodo que se repite; no caso das funcións elípticas, contan con dous periodos. Como dicía enriba, os inputs (os posíbeis valores da incógnita) agora son os números complexos, que se soen representar en variables complexas pola letra z. Unha función elíptica f satisfará a seguinte condición, dados certos números complexos ω1 e ω2 : f(z) = f (z+ω1) = f (z+ω2). Asemade, cada función elíptica forma un enreixado completo de todo o plano complexo C composto por paralelogramos iguais.

O descubrimento destas funcións a partir de integrais elípticas é unha páxina ben fermosa das matemáticas do século dezanove, e inclúe a tódolos sospeitosos habituais (Gauss, Legendre, Abel, Jacobi). Ao parecer, teñen moitas aplicacións prácticas (que non me interesan ren) e conexións coa Teoría de Números e coas Curvas Elípticas, outra curiosísima besta matemática que está por detrás, entre outras moitas cousas, da criptografía moderna e da solución ao último Teorema de Fermat. Disto e máis alá e do que fala o libro de Stewart, abríndome o apetito para cando sexa quen de comprender os formulismos matemáticos. Se queredes visualizalas, é algo difícil, xa que o plano no que viven conta con catro dimensións, pero hai intentos ben coloristas, coma éstes ou estoutros.