No capítulo XIII de Calculus Made Easy, obra de Silvanus P. Thompson, trabállanse fraccións parciais. Un ten unha función racional do tipo
(x-2)} "https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{x^{2}}{(x^{3}-8)(x-2)}")
e o caso é se podemos trocear esta función nunha suma doutras máis sinxelas, idealmente con só un número no numerador. A razón desta manipulación alxebraica é sinxela: se logo un quere diferenciar a función racional (empregando, por exemplo, a
regra do cociente) é moito máis sinxelo facelo cunha suma de funcións racionais máis simples. Logo de explicar diferentes estratexias dependendo da función, o libro inclúe 18 exercicios para practicalas. O exemplo que vos puxen enriba é o derradeiro, e o máis atravesado. Levoume unhas cantas voltas resolvelo.
O primeiro que tentei (porque era o último que se explicaba no capítulo) foi multiplicar os polinomios do denominador coa esperanza de que o resultado fose o equivalente dunha expresión elevada a unha potencia, algo do estilo de
xa que este tipo de problemas teñen unha solución moi doada. O produto deu como resultado o seguinte polinomio:
.
Estiven a fedellar un bo chisco para ver se o podía transformar nun polinomio elevado todo el ao cuarto grado. Cunha fracción conseguín unha aproximación bastante boa:
^{4} "https://latex.codecogs.com/svg.image?\left (x-\frac{1}{2} \right )^{4}")
Pero o tentar a cegas non me estaba a levar a ningures. Logo de cavilar un pouco máis, dinme conta de que estaba a perder o tempo. Ningunha fracción deste tipo ía dar un último termo que non o fose outra fracción -e nunca un 16-; se o produto do denominador en cuestión era equivalente a unha potencia dun polinomio, tiña que ser
^{4} "https://latex.codecogs.com/svg.image? (x-2)^{4}")
,
xa que
co que contamos dende o comezo, é irreducíbel (non se pode descompoñer nun produto de polinomios máis sinxelos). Un cálculo rápido demostrou que elevalo a 4 non nos daba o que necesitabamos.
O seguinte paso foi comprobar se
era tamén un polinomio irreducíbel. Logo dunha rápida división por Ruffini, vin que era divisíbel por
 "https://latex.codecogs.com/svg.image? (x-2)")
,
co que a función racional inicial podía reescribirse como:
(x-2)^{2}} "https://latex.codecogs.com/svg.image? \frac{x^{2}}{(x^{2}+2x+4)(x-2)^{2}}")
Pode parecer que non adiantamos gran cousa, pero coa función racional deste xeito sí que temos unha estratexia descrita no libro de texto para solucionala. Teríamos que esta besta é fragmentábel nos seguintes tres anacos (onde as letras maiúsculas son incógnitas a resolver):
^{2}}+&space;\frac{E}{x-2} "https://latex.codecogs.com/svg.image?\frac{Ax+B}{x^{2}+2x+4}+\frac{Cx+D}{(x-2)^{2}}+ \frac{E}{x-2}")
Mais son demasiadas incógnitas! Cunhas cantas manipulacións, puiden deducir que A = -1/6, pero non había xeito de progresar alén diso. Tentei as raíces irracionais do polinomio denominador de Ax + B, pero tampouco me levaban a ningures.
Finalmente, hoxe á mañá, con moita calma, topei a estratexia axeitada, e que ten como punto de partida que a expresión que enriba aparece como Cx+D pode ás veces substituírse por unha expresión nunha soa incógnita sen x. Logo dunha substancial manipulación alxebraica, dín resolto o enigma. Como sería pesado incrustar os pasos todos en
latex, se tedes interese podédelos ler
aquí e
aquí.
O motivo polo que vos escribo todo isto non é nen para gabarme do meu inxenio, nen para rompervos a cabeza, senón simplemente para exemplificar, máis que nada para o eu futuro relector desta bitácora, as estratexias que empreguei para solucionar este problema. Cavilar ben nas estratexias é as máis das veces máis importante que o aquilo que nos preguntaban, ou a súa solución.
