Sigo pelexando coas materias do grado - definitivamente, collín demasiadas! Aquí tedes, por se vos interesase, a primeira folla entregábel de actividades de Álxebra Lineal.
Dúas demostracións medio feitas que ficaron pendentes como tarefa a completar en Análisis 1. Velaiquí están. Ámbalas dúas teñen que ver con números e a Propiedade Arquimediana: entre dous números enteiros sempre hai un real, entre dous reais sempre hai un racional.
Addendum: hai un pequeno erro na primeira das demostracións, por ter escollido mal as desigualdades que definen os elementos do conxunto B. Logo de que o profesor me dera unha pista, aquí está a versión 'axeitada'.
Hoxe temos outra sesión de Análise I na que imos ver o concepto de inducción e as demostracións que se poden facer empregándoo. Quedaron pendentes tres exercicios de ínfimos e emprego da propiedade arquimediá que acabo de rematar -para este último, necesitei dunha pista do docente. Aquí tedes a ligazón.
Hoxe pola mañá realicei o test de autoavaliación do tema 1 de Álxebra Lineal. Coma na célebre película, cometín dous erros:
Estiven a última hora cavilando o porqué de ditos erros. Un deles é trivial, e débese a ler mal as respostas, o outro en cambio é de despiste e non ter feito 'todo o traballo' necesario.
Aquí está el enlace con las soluciones de los 6 ejercicios que teníamos que preparar para hoy, que son sobre grupos, anillos y cuerpos. Muchos de ellos son bastante tediosos (sobre todo cuando hay qe demostrar asociatividad y propiedad distributiva). Pienso que si hubiese empleado la herramienta más sencilla de demostrar que A es subgrupo de B, me podría haber ahorrado mucho trabajo.
Onte tivemos a segunda sesión de Análise I, e os seguintes exercicios que vimos na aula fíxenos por adiantado. No canto de empurrarme a escribilos todos en formato dixital, e no caso de que vos interesasen, aquí tedes a ligazón ao pdf cos exercicios feitos a man e escaneados.
O profesor de Análisis I deixounos a seguinte tarefa para facer antes da sesión do martes: en base aos 9 axiomas que se nos explicou, mais as propiedades de igualdade e de orde dos números reais, demostrar que os seguintes enunciados son verdadeiros:
Imos alá!
1) 0.x = x.0 por A8 (propiedade commutativa)
0.x = (0+0).x por A2 (neutro da suma) = 0.x + 0.x por A9 (propiedade distributiva)
Se a 0.x = 0.x + 0.x procedemos a sumarlle a esquerda e dereita -0.x (existe por A3, inversos sumativos), fícanos 0 = 0.x, que é igual a 0.x = 0 (propiedade simétrica), QED
2) (-1).x = x.(-1) por A8 (propiedade commutativa)
Para demostrar que (-1).x é igual a -x temos que demostrar que é o inverso sumativo de x. Para isto, ímoslle sumar x e operar ata que consigamos 0:
(-1).x + x = x(-1+1) por A9 (propiedade distributiva), = x.(0) por A3, inversos sumativos, que é igual a 0, como demostramos no apartado 1.
Dado que (-1).x + x = 0, procedemos a sumarlle a esquerda e dereita -x (existe por A3, inversos sumativos), e fica (-1).x = -x, QED
3) A estratexia global para isto é como a do exercicio anterior. Comezamos sumándolle -(x.y) a ambos lados da igualdade (existe por A3, inversos sumativos):
(-x)(-y) + (-(x.y)) = 0
Se agora lle sumamos (x.y) a ambos lados da ecuación, temos (-x)(-y) + (-(x.y)) + (x.y) = (x.y), os termos centrais desaparecen por A3, e fícanos (-x)(-y) = (x.y), QED.
Cando fixen este exercicio por vez primeira, funme nunha tanxenta para demostrar que -(x.y) era igual a (-x).(y), pensando que deste xeito simplificaba logo o lado esquerdo da igualdade, pero repasándoo agora, penso que é un proceso innecesario.
4) Partimos de x > 0 e sumamos -x a ambos lados da desigualdade, x + (-x) > 0 + (-x)
O lado esquerdo torna 0 por A3, inversos sumativos, e o dereito -x (por A2, neutro da suma):
0 > -x, e a isto podemos darlle a volta por unha das propiedades de orde, x > y iff y < x, e fica
-x < 0, QED
5) Sabemos que x ≤ y (isto sabémolo para os seguintes 5 exercicios).
Sumamos -y a ambos lados da desigualdade (existe por A3, inversos sumativos); a parte dereita da desigualdade reduce a 0, e temos x + (-y) ≤ 0, que se pode reescribir coma x-y ≤ 0, QED
6) Partimos igualmente de x ≤ y, pero esta vez imos sumar (por A3) o inverso sumativo de x, -x:
x + (-x) ≤ y + (-x)
A parte esquerda reduce a 0, e a dereita represéntase de xeito habitual coma y -x, e temos
0 ≤ y -x
e a isto podemos darlle a volta por unha das propiedades de orde, como fixemos no exercicio 3, ficando
y - x ≥ 0, QED
7) Isto demóstranos que a multiplicación por un número real positivo non altera a orde dunha desigualdade. Tomamos, de feito, como punto de partida o resultado de 6) y - x ≥ 0. Como z ≥ 0, por O6, logo
z(y-x) ≥ 0
Por A9 (propiedade distributiva) repartimos este z en zy -zx ≥ 0, e por A3 sumamos a ámbolos lados o inverso sumativo de -zx, zx, e fica:
zy ≥ zx
Cambiamos a orde dos elementos de cada produto por A8 (propiedade commutativa), e de novo, podemos darlle a volta á expresión por unha das propiedades de orde, como fixemos nos exercicios 3 e 6, e fica: xz ≤ xy, QED
8) Aquí demostramos que a multiplicación por un número real negativo sí altera a orde da desigualdade. Para comezar, énos ventaxoso traballar con -z (que é un número positivo) para poder aplicar o mesmo principio de orde O6 que empregamos en 7), e para o que necesitamos dous números positivos e 0.
-z ≥ 0 (isto séguese dodamente de que z ≤ 0, e se se quere, aplicando A3 a dita desigualdade).
Volvemos novamente ao demostrado en 6) y-x ≥ 0, e multiplicámolo por -z:
-z(y-x) ≥ 0
Aplicamos A9 (propiedade distributiva) e o demostrado no exercicio 3, de que o produto de dous negaticos é un positivo, e fica:
-zy + zx ≥ 0
Sumamos zy a ámbolos dous lados, e por A3, zx ≥ zy, e por A8 poñemos as z en segunda posición,
xz ≥ yz, QED
9) Partimos do que xa sabíamos para estes 5 exercicios, que x ≤ y
Imos multiplicar ámbolos dous lados da desigualdade por x^-1 e y^-1, os inversos multiplicativos de x e y (que existen por A7):
x(x^-1)(y^-1) ≤ y(x^-1)(y^-1)
Facendo uso de A5, A7 e A8 (asociatividade multiplicativa, inversos multiplicativos e commutativade do produto) podemos xuntar inversos en cada lado e convertilos en 1, logo do cal fica:
(y^-1) ≤ (x^-1)
e se reescribimos isto en forma de fracción e dámoslle a volta como fixemos en exercicios anteriores, danos o resultado que queríamos, QED
Luego de hablarlo con la apasionada Sonia Vecino, he decidido crear una serie de entradas para los miércoles de cada semana bajo el título de Miércoles de lecturas en las que incluír pasajes de libros y/o reflexiones y/o resúmenes, tanto de los que estoy leyendo como de volúmenes anteriores. Es una pequeña iniciativa que rima con los Lunes Musicales de Sonia y los Viernes de Versos de Diana Pastoriza.
O premio Abel deste ano foi para Luís Caffarelli, matemático arxentino especializado en ecuacións diferenciais parciais. Moitos parabéns, profesor!
