Aquí está el enlace con las soluciones de los 6 ejercicios que teníamos que preparar para hoy, que son sobre grupos, anillos y cuerpos. Muchos de ellos son bastante tediosos (sobre todo cuando hay qe demostrar asociatividad y propiedad distributiva). Pienso que si hubiese empleado la herramienta más sencilla de demostrar que A es subgrupo de B, me podría haber ahorrado mucho trabajo.
Onte tivemos a segunda sesión de Análise I, e os seguintes exercicios que vimos na aula fíxenos por adiantado. No canto de empurrarme a escribilos todos en formato dixital, e no caso de que vos interesasen, aquí tedes a ligazón ao pdf cos exercicios feitos a man e escaneados.
O profesor de Análisis I deixounos a seguinte tarefa para facer antes da sesión do martes: en base aos 9 axiomas que se nos explicou, mais as propiedades de igualdade e de orde dos números reais, demostrar que os seguintes enunciados son verdadeiros:
Imos alá!
1) 0.x = x.0 por A8 (propiedade commutativa)
0.x = (0+0).x por A2 (neutro da suma) = 0.x + 0.x por A9 (propiedade distributiva)
Se a 0.x = 0.x + 0.x procedemos a sumarlle a esquerda e dereita -0.x (existe por A3, inversos sumativos), fícanos 0 = 0.x, que é igual a 0.x = 0 (propiedade simétrica), QED
2) (-1).x = x.(-1) por A8 (propiedade commutativa)
Para demostrar que (-1).x é igual a -x temos que demostrar que é o inverso sumativo de x. Para isto, ímoslle sumar x e operar ata que consigamos 0:
(-1).x + x = x(-1+1) por A9 (propiedade distributiva), = x.(0) por A3, inversos sumativos, que é igual a 0, como demostramos no apartado 1.
Dado que (-1).x + x = 0, procedemos a sumarlle a esquerda e dereita -x (existe por A3, inversos sumativos), e fica (-1).x = -x, QED
3) A estratexia global para isto é como a do exercicio anterior. Comezamos sumándolle -(x.y) a ambos lados da igualdade (existe por A3, inversos sumativos):
(-x)(-y) + (-(x.y)) = 0
Se agora lle sumamos (x.y) a ambos lados da ecuación, temos (-x)(-y) + (-(x.y)) + (x.y) = (x.y), os termos centrais desaparecen por A3, e fícanos (-x)(-y) = (x.y), QED.
Cando fixen este exercicio por vez primeira, funme nunha tanxenta para demostrar que -(x.y) era igual a (-x).(y), pensando que deste xeito simplificaba logo o lado esquerdo da igualdade, pero repasándoo agora, penso que é un proceso innecesario.
4) Partimos de x > 0 e sumamos -x a ambos lados da desigualdade, x + (-x) > 0 + (-x)
O lado esquerdo torna 0 por A3, inversos sumativos, e o dereito -x (por A2, neutro da suma):
0 > -x, e a isto podemos darlle a volta por unha das propiedades de orde, x > y iff y < x, e fica
-x < 0, QED
5) Sabemos que x ≤ y (isto sabémolo para os seguintes 5 exercicios).
Sumamos -y a ambos lados da desigualdade (existe por A3, inversos sumativos); a parte dereita da desigualdade reduce a 0, e temos x + (-y) ≤ 0, que se pode reescribir coma x-y ≤ 0, QED
6) Partimos igualmente de x ≤ y, pero esta vez imos sumar (por A3) o inverso sumativo de x, -x:
x + (-x) ≤ y + (-x)
A parte esquerda reduce a 0, e a dereita represéntase de xeito habitual coma y -x, e temos
0 ≤ y -x
e a isto podemos darlle a volta por unha das propiedades de orde, como fixemos no exercicio 3, ficando
y - x ≥ 0, QED
7) Isto demóstranos que a multiplicación por un número real positivo non altera a orde dunha desigualdade. Tomamos, de feito, como punto de partida o resultado de 6) y - x ≥ 0. Como z ≥ 0, por O6, logo
z(y-x) ≥ 0
Por A9 (propiedade distributiva) repartimos este z en zy -zx ≥ 0, e por A3 sumamos a ámbolos lados o inverso sumativo de -zx, zx, e fica:
zy ≥ zx
Cambiamos a orde dos elementos de cada produto por A8 (propiedade commutativa), e de novo, podemos darlle a volta á expresión por unha das propiedades de orde, como fixemos nos exercicios 3 e 6, e fica: xz ≤ xy, QED
8) Aquí demostramos que a multiplicación por un número real negativo sí altera a orde da desigualdade. Para comezar, énos ventaxoso traballar con -z (que é un número positivo) para poder aplicar o mesmo principio de orde O6 que empregamos en 7), e para o que necesitamos dous números positivos e 0.
-z ≥ 0 (isto séguese dodamente de que z ≤ 0, e se se quere, aplicando A3 a dita desigualdade).
Volvemos novamente ao demostrado en 6) y-x ≥ 0, e multiplicámolo por -z:
-z(y-x) ≥ 0
Aplicamos A9 (propiedade distributiva) e o demostrado no exercicio 3, de que o produto de dous negaticos é un positivo, e fica:
-zy + zx ≥ 0
Sumamos zy a ámbolos dous lados, e por A3, zx ≥ zy, e por A8 poñemos as z en segunda posición,
xz ≥ yz, QED
9) Partimos do que xa sabíamos para estes 5 exercicios, que x ≤ y
Imos multiplicar ámbolos dous lados da desigualdade por x^-1 e y^-1, os inversos multiplicativos de x e y (que existen por A7):
x(x^-1)(y^-1) ≤ y(x^-1)(y^-1)
Facendo uso de A5, A7 e A8 (asociatividade multiplicativa, inversos multiplicativos e commutativade do produto) podemos xuntar inversos en cada lado e convertilos en 1, logo do cal fica:
(y^-1) ≤ (x^-1)
e se reescribimos isto en forma de fracción e dámoslle a volta como fixemos en exercicios anteriores, danos o resultado que queríamos, QED
Luego de hablarlo con la apasionada Sonia Vecino, he decidido crear una serie de entradas para los miércoles de cada semana bajo el título de Miércoles de lecturas en las que incluír pasajes de libros y/o reflexiones y/o resúmenes, tanto de los que estoy leyendo como de volúmenes anteriores. Es una pequeña iniciativa que rima con los Lunes Musicales de Sonia y los Viernes de Versos de Diana Pastoriza.
O premio Abel deste ano foi para Luís Caffarelli, matemático arxentino especializado en ecuacións diferenciais parciais. Moitos parabéns, profesor!
Estes días estou a ler, entre outras cousas, unha introdución ao pensamento ético: How Should We Live?, de Louis P. Pojman. Atopei especialmente relevante o seguinte dilema que plantexa para aqueles que seguen un modelo ético secularista. Neste caso, un ten que escoller entre obxectividade ou relativismo.
por instinto, considérome un realista moral, o que quere dicir que asumo que certos principios morais son verdadeiros e universalmente válidos, con indiferencia de que sexan recoñecidos e acatados como tales por alguén. Asemade, considérome unha persoa atea. Mais xuntar estas dúas crenzas permite doadamente que se me plantexen dúas preguntas incómodas:
1) Incluso se estiveras dacordo comigo en que algúns principios morais son certos, porqué deberían as persoas acatalos se van en contra dos seus intereses particulares e poden vulneralos con impunidade? E qué acontece se ditos principios contradín os da sociedade na que un está inserido?
2) Se non existe unha deidade lexisladora, cal sería a fundación obxectiva de ditos principios morais? De onde veñen?
Deixando de lado as posíbeis respostas de momento, un podería pensar que o outro camiño, o do relativismo, podería dar mellores froitos, e asumir que os principios morais sempre dependen dunha serie de motivacións extrínsecas, e que son continxentes, as mellores razóns dentro dun marco determinado e tendo todas as cousas en consideración. Pero persoalmente, téñolle urticaria ao relativismo. Asumilo converte á ética nunha especie de parente próximo da estética, cousas de gustos, subxectiva. No libro, o autor tenta deseñar algo que chama 'moralidade obxectiva' a partir da asunción dunha natureza humana común e dun conxunto de regras que son as máis conducentes a unha sociedade na que os humanos podemos sobrevivir e florecer. Pero este tipo de 'obxectivismo' paréceme que é continxente, en última instancia, na aceptación de certos axiomas, un pouco como as verdades e os teoremas en matemáticas.
Qué pasaría se nun futuro non moi lonxano a natureza humana sufre cambios de bulto, ou se descubrimos a seres non humanos que posúen razón e conciencia? E se futuros cambios nas condicións de supervivencia da especie esixen de nós condutas que co sistema 'obxectivo' actual consideramos inmorais?
Como case todo en filosofía, son preguntas para pensar, e seguramente non para responder de xeito definitivo...
Agatha Raisin and the Quiche of Death de M.C. Beaton
Bubble or Revolution? The Present and Future of Blockchain and Cryptocurrencies de Neel Mehta et al. [E]
Heloise and Abelard de Étienne Gilson [E]
The Cryptopians de Laura Shin
The Truth de Terry Pratchett [E]
The Start Up of You de Reid Hoffman & Ben Casnocha [E]
*One Billion Americans de Matthew Yglesias [E]
*Calculus Made Easy de S.P. Thompson e Martin Gardner
*Plato: Complete Works de John M. Cooper (ed.)
A tese do último libro que estou a ler ven a dicir algo coma o que segue, anque en palabras moito máis amigábeis: o capitalismo serodio é un demo mefistofélico que, a cambio de poder acceder a cada vez máis bens e máis baratos, obrígache a ficar encadeado a unha roda na que tes que camiñar cada día máis e máis rápido, baixo pena de perder a alma (e todo o que tes) senón...
Estes días estou a ler a tradución inglesa (obra de Ian Johnston) do Mozi, un dos clásicos do pensamento filosófico chinés de arredor do século V a.C. Velaiquí uns breves apuntamentos:
No capítulo XIII de Calculus Made Easy, obra de Silvanus P. Thompson, trabállanse fraccións parciais. Un ten unha función racional do tipo
Pois iso, que non tiven moito tempo para o espazo virtual como ben puidéchedes ver. Entre o traballo, os resfriados do pequeno, a preparación das miñas participacións no Congreso que rematou onte, a que teño o mércores pola mañá en Vila, non puiden case nen ler, que é a prioridade absoluta dos meus ocios...
Tiña pendentes algunhas entradas sobre a viaxe a Xapón no verán do 2011, e algún que outro coello na chistera. Tede un chisco de paciencia...
No escaso tempo de lecer que me permite o comezo do ano académico estou a lidiar co libro Calculus made easy, de Silvanus P. Thompson, e os seus exercicios. Malia o título, non o estou a topar tan doado, alomenos á altura do tema ao que cheguei recentemente (XI - Maxima and Minima), onde o exercicio típico consiste en visualizar unha figura xeométrica inscrita noutra e calcular as propiedades máximas (volume, area...) das figuras de dentro.
Anque require un chisco de esforzo a visualización e a técnica de resolución deste tipo de problemas, o que me está a romper a cabeza son os meus 'descoidos', erros e despistes computacionais que me levan a error, e que son resultado de pouca práctica computacional. Cousas coma supoñer que se 5x^4 = 5, logo x^4 = 0 (cando é igual a 1), ou ter que elevar ao cadrado a (8-x) e pasarlle o exponente, mal, só ao x, ou o último, tratar a unha expresión elevada a 1/2 coma se estivese elevada a -1/2...
Algo que me frustra tamén bastante é a miña lentitude á hora de resolver problemas. Contaba con que os 11 exercicios desta unidade non me levasen máis de 2 mañás, e xa levarei 2 semanas (anque en total, seguramente non lles adiquei máis de 7 horas ou así por mor de reunións e de preparar cousas para o traballo). Paciencia, non hai outra ciencia...
Xa vos falara nunha ocasión dos meus gustos frugívoros, mais dado que estamos de vacacións, permítome outra volta cunha pequena e frívola entrada estival, reflexionando sobre gustos alimentarios, e non estéticos. Dende uns anos atrás, e nun esforzo por mellorar os meus hábitos, obrígome a almorzar só froita. Un pensaría que o padal acabaría adaptándose, pero sigo sendo un adicto terminal do doce, e botando de menos o par de torradas con manteiga e mermelada de amorodos que foron durante moitas décadas a miña primeira comida da mañá.
Como suporedes, o meu gusto en froitas, en consecuencia, vai en orde descendente dende as máis ás menos doces. No podio están non só aquelas con moita fructosa, senón as que amais teñen moi pouca acidez de acompañamento: figos, peras, melóns, cherimoias, plátanos ou dátiles (os تمر المجهول son a comida dos deuses; penso que podería sobrevivir permanentemente cunha dieta de éstes e leite fresco).
Porén, tamén se da un feito paradóxico: hai algunhas froitas nas que aprezo, dentro duns límites, a presenza de acidez. O caso paradigmático son os cítricos: goréntame os pomelos incluso sen ningún azucre engadido, ou os zume de lima e limón co mínimo edulcorante e algo de diluimento en auga. Este verán, que foi moi xeneroso en limóns, permitiume calcular as proporcións perfeitas de limonada: unha parte de zume recén exprimido da árbore da horta (variedade Eureka), outra parte de auga e de 4 a 5 dunha gaseosa neutra, con ou sen zucre. Tamén están ben os tamarindos (sen pasarse, que a variedade non doce é coma lamber limóns!), as milgrandas, as mazás ou as arandeiras vermellas (necesariamente, secas). E logo hai froitas onde ata o menor indicio de presenza do agre me provoca un case total rexeitamento, coma nos pexegos, ameixas, amorodos, cereixas ou arandos. Finalmente, tamén cabe mencionar as que mellorar moito coa cocción (anque isto realmente vale para todas, aos liberárense e caramelizar os azucres e reducirse a auga e as sustancias acedas): feixoas, goaiabas, roibarbo, marmelos... Como me repite a miña dona en moitas ocasións, teño o padal dun neno pequeno...
Nos comezos daquel verán remataba con sentimentos encontrados o meu primeiro curso lectivo dende o outro lado da aula. Botando unha ollada as entradas que escribín, vexo lecturas e reflexións, mais cuberto baixo o velo da discreción está un feito privado de máxima magnitude para o Mantedor: o 9 de xullo casaba coa miña dona e señora e daban comezo once anos de felicidade a carón da mellor muller do mundo, My other self, my council's consistory, My oracle, my prophet, a pedra estábel no medio do meu río de augas turbulentas nas verbas da poeta Tawara Machi que tivo a ben compartir comigo e converter no noso común emblema:
ゆく河の流れを何にたとえてもたとえきれない水底（みなそこ）
As datas epocais fundan as cronoloxías dos pobos e establecen o nacementos de novas eras; na miña cronoloxía privada, a presenza de Noriko na miña vida creou un Antes e un Despois de, e como tódalas transformacións revolucionarias, refixo e e reinterpretou o pasado á súa imaxe e semellanza. Ao respecto, e seguindo o antergo modelo da tipoloxía escolástica, recréome en conectar recordos da infancia e pensamentos da adolescencia con prefiguracións e intentos de descubrir á que daquela era un descoñecida que moraba no outro estremo do globo terráqueo.
Moi lonxe dese país onde nace o sol, perto das costas onde as tropas de Décimo Xunio Bruto imaxinaban escoitar o ruído do astro-rei ao afundirse nas augas, está a miña casa de Tavilo, en cuxa sala de estar tiñamos unha mesiña baixa de falsa decoración laqueada, unha chinoiserie de volutas douradas, madeira negra e groso cristal por enriba que agochaba e protexia a belidas damas orientais flotando entre nubes, pavillóns, e pagodas. O meu maxín infantil fantaseaba con traspasar o vidro e conversar cunha desas doncelas; moitos anos despois, a Imaxe fíxose carne e habitou entre nós, e tiven a sorte de coñecela e de persuadila para que seguise habitando comigo ata o día de hoxe...
15. Los textos dialógicos. Estructura y características.
19. Expresión de la cantidad.
30. El verbo: Tiempo verbal y tiempo real. El aspecto. El modo.
58. La novela actual en Gran Bretaña: Selección de textos y análisis de una obra representativa.
"O amor ao próximo en toda a súa plenitude consiste simplemente en ser capaz de dicirlle: 'Qué é o que estás a pasar?'. É un recoñecemento de que a persoa que sufre existe non tan só como unha unidade nunha colección, ou un especime pertencente a unha categoría social que nomeamos 'desafortunada', senón como unha persoa igual a nós, que un día foi marcado cun carimbo especial pola aflicción. É por isto que é suficiente, pero tamén indispensábel, saber contemplar a esta persoa dun certo xeito.
Este xeito é, en primeiro lugar, atento. A alma propia baleirase dos seus propios contidos coa fin de recibir dentro de sí ao ser ao que está a fitar, tal e como é, en toda a súa verdade. Só aqueles capaces de prestar atención poden facer isto.
Acontece así que, por paradoxal que pareza, unha prosa latina ou un problema de xeometría, anque se executen mal, poden ser de grande utilidade algún día sempre e cando lles adiquemos o tipo axeitado de esforzo. Se xurde a ocasión, poden un día facernos máis capaces de darlle a alguén nun estado de aflicción exactamente a axuda que necesita para salvarse, nese supremo intre da súa necesidade".
Simone Weil, "Reflections on the Right Use of School Studies with a View to the Love of God", contido no seu libro Waiting for God. Neste caso, cheguei indirectamente á cita a través dun libro de Francis Su: Mathematics for Human Flourishing.
Botando a ollada atrás, pouco que reseñar topo na escuma dos días dos comezos daquela primavera, agás quizaves a impresión de que os ciclos nos que estou iserto nas rutinas da primavera actual son máis ou menos os daquela, na primeira estación florida en que traballaba coma docente de EEOOII. Algo máis interesante foi a pequena visita a Madrid que debín facer aproveitando unha ponte como a deste ano entre fín de semana e Día das Letras Galegas, co gallo de asistir a unhas aulas da cerimonia xaponesa do té.
Na Vila e Corte, en efecto, está o único profesor da escola Urasenke que hai en España, Javier Soei Martínez Gil, e polo tanto, é o único sitio onde se pode un familiarizar con esta arte performativa xaponesa que estetiza de xeito requintado actos tan cotiáns coma os de xuntarse, comer e beber. Coma nunha peza de teatro semi-improvisado, o sadō (茶道) ten os seus actos e esceas, roles e posicións nun taboleiro de catro tatamis e medio mais, parcialmente, o xardín adxacente, xunto con guións máis amplo que mudan paseniñamente co paso das estacións, cos artefactos dispoñíbeis e cos convidados que veñen de visita. Aquí tedes, por exemplo, unha desas esceas: o anfitrión traendo os implementos. Parte disto (dobrar o pano, limpar a culler de madeira) é o que practiquei neses días.
Alén da distancia, outro obstáculo que me dificulta acudir a máis aulas é o problema do xeito formal de sentarse: o seiza require botar longo tempo coas pernas dobradas e sentado sobre os muslos e os xoenllos, o que acaba provocando dor e perda de sensibilidade aos que non están acostumados; a maiores, no meu caso teño uns xoenllos moi sensíbeis: unha vez mesmo sufrín un esvaemento logo de botar uns dez minutos cos xeonllos apoiados nun chan de madeira.
Por eses meses andaba tamén atarefado 'on the side' coa tradución ao galego do TAZ de Hakim Bey que me solicitara Roberto Abuín e a editorial Axouxere, e que estaba a realizar a dúas mans co entrañábel Pablo Varela Pet. Un texto curioso e algo psicodélico, mais que recomendo encarecidamente pola súa exploración de 'espacios outros' de liberdade, fuxidíos pero indestructíbeis na súa pervivencia e migración. Saiu publicada en xuño e presentámola nun acto moi entretido na Gentalla do Pichel.
Entre os libros da biblioteca municipal de Outes hai unha presada en inglés que foron donados anos atrás, imaxino que por unha familia de británicos que asentaran na nosa terra, e dos que eu son o case único lector. A súa temática é bastante variada (historia de España e de Gran Bretaña, das exploracións oceánicas, textos literarios clásicos, algo de filosofía...), anque un certo predominio de volumes sobre barcos e episodios navais e algunhas cousas de ciencia fan pensar que o seu anterior dono seguramente cursou estudos técnicos, cicaves de enxeñería naval.
Un exemplar co que levaba pelexando longo tempo sen éxito é An Introduction to the Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, de Eves e Newson.
Hai periodos da vida inzados de actividade ou lecturas de relevancia; porén, os dous primeiros meses do 2011 pasaron polo meu ser sen deixar moito humus nutricio entre as miñas lembranzas, e unha rápida ollada a correos electrónicos daquela tampouco ilumina demasiado as tebras. Vexo que escribía moi poucas entradas na bitácora naqueles días, seguramente por mor do traballo (xaneiro e febreiro son meses atarefados nas EOIs, cando se ultiman, realizan e corrixen as probas de progreso). Tamén vexo no libro de area dixital que o Colectivo Sacou debeu celebrar a súa propia e peculiar Lupercalia cunha visita ao noso estimado amigo, oráculo e mestre máxico Roberto Abuín: quizaves unha visita rianxeira da que gardo algunhas fotos, ou outra na que fomos brevemente infame turba de nocturnas aves a carón dunha lareira, ou quizaves foi aquela outra cando a editorial Axouxere creou a súa residencia de escritores e os sacousos ficáramos a cear. Algún día eivos falar tamén doutra noite na salvaxe compaña de Roberto e Manuel López nun pazo falando (entre outras cousas) de amores, filosofía, México, o tarot, fume e as Meditacións de Marco Aurelio, pero tornando ao rego deste encontro do mes de febreiro, penso que tirei del un certo compromiso pola miña parte para facer unha tradución do TAZ de Hakim Bey que sairía publicada, penso, ese mesmo ano na colección co nome da miña musa favorita: Clío.
O verquido ao galego desa obriña, malia o seu pequeno tamaño, resultou unha coreografía a dúas mans, coa inestimábel cooperación de Pablo Varela, my favorite pet (e esta entrada xa vai collendo o aire oteriano do Libro dos Amigos). Ámbolos dous nomes aparecen, tímidos e algo fachendosos, na primeira das páxinas:
E anque o mantedor non teña nada de anarquista, místico ou sodomita, haivos cousas moi interesantes á marxe destas no libellus de Hakim Bey, e que fan que vos recomende a súa lectura (e non sexades malpensados, que non cobro dereitos de autor): sinaladamente, a idea da construción nómada de espazos alternativos e de resistencia que pola súa propia natureza -mariposa en cenizas desatada- só poden durar coma pequenos fogos fatuos, correndo daquí para alá, prendendo a lumes bravos e iluminando brevemente os currunchos menos sospeitados. Nese senso é unha utopía pesimista de torres evanescentes, anque por iso mesmo, en última instancia, irreprimíbel e indestructíbel, como a humana natureza.
